Cho bất phương trình \(m\sqrt {2 - x} + 12\sqrt {4 - {x^2}} \ge 16x + 3m\sqrt {2 + x} + 3m + 35.\) Có tất

Câu hỏi số 332106:

Vận dụng cao

Cho bất phương trình \(m\sqrt {2 - x} + 12\sqrt {4 - {x^2}} \ge 16x + 3m\sqrt {2 + x} + 3m + 35.\) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2;2} \right]?\)

A. \(10.\)

B. \(18.\)

C. \(3.\)

D. \(4.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332106

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {2 - x} - 3\sqrt {2 + x} \) đưa về bất phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Tìm điều kiện của \(t\) và đưa bài toán về tìm \(m\) để bất phương trình nghiệm đúng với \(t\) thỏa mãn điều kiện tìm được ở trên.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,m\sqrt {2 - x} + 12\sqrt {4 - {x^2}} \ge 16x + 3m\sqrt {2 + x} + 3m + 35\\ \Leftrightarrow m\sqrt {2 - x} - 3m\sqrt {2 + x} \ge 16x - 12\sqrt {4 - {x^2}} + 3m + 35\\ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt {2 - x} - 3\sqrt {2 + x} } \right) \ge 2\left( {8x - 6\sqrt {4 - {x^2}} } \right) + 3m + 35\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {2 - x} - 3\sqrt {2 + x} \Rightarrow {t^2} - 20 = 8x - 6\sqrt {4 - {x^2}} \).

Dễ thấy \(t' = - \frac{1}{{2\sqrt {2 - x} }} - \frac{3}{{2\sqrt {2 + x} }} < 0\) nên hàm \(t = t\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 2;2} \right)\).

Do đó \( - 2 \le x \le 2 \Rightarrow - 6 \le t \le 2\).

Thay vào bất phương trình trên được:

\(mt \ge 2\left( {{t^2} - 20} \right) + 3m + 35 \Leftrightarrow 2{t^2} - mt + 3m - 5 \le 0\).

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2;2} \right]\) nếu và chỉ nếu bất phương trình \(2{t^2} - mt + 3m - 5 \le 0\) nghiệm đúng với mọi \(t \in \left[ { - 6;2} \right]\) \( \Leftrightarrow \) tam thức bậc hai \(f\left( t \right) = 2{t^2} - mt + 3m - 5\) có hai nghiệm thỏa mãn \({t_1} \le - 6 < 2 \le {t_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\af\left( { - 6} \right) \le 0\\af\left( 2 \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 24m + 40 > 0\\2.\left( {67 + 9m} \right) < 0\\2.\left( {3 + m} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 12 + 2\sqrt {26} \\m < 12 - 2\sqrt {26} \end{array} \right.\\m \le - \frac{{67}}{9}\\m \le - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - \frac{{67}}{9}\)

Kết hợp với \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) thì \(m \in \left\{ { - 10; - 9; - 8} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.