Cho số phức \(z\) thay đổi thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| = 1.\) Biết rằng tập hợp các số

Câu hỏi số 332120:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thay đổi thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| = 1.\) Biết rằng tập hợp các số phức \(w = \left( {1 + \sqrt 3 .i} \right)z + 2\) là đường tròn có bán kính bằng \(R.\) Tính \(R.\)

A. \(R = 8.\)

B. \(R = 1.\)

C. \(R = 4.\)

D. \(R = 2.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332120

Phương pháp giải

Biểu diễn số phức \(z\) theo \(w\) rồi thay vào giả thiết \(\left| {z - 1} \right| = 1\) để tìm tập hợp điểm biểu diễn \(w\) từ đó suy ra bán kính đường tròn.

Giải chi tiết

Ta có \(w = \left( {1 + \sqrt 3 .i} \right)z + 2 \Rightarrow \left( {1 + \sqrt 3 .i} \right)z = w - 2 \Leftrightarrow z = \frac{{w - 2}}{{1 + \sqrt 3 i}}\)

Đặt \(w = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

\( \Rightarrow z = \frac{{x + yi - 2}}{{1 + \sqrt 3 i}} = \frac{{\left[ {\left( {x - 2} \right) + yi} \right]\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}}{4} = \frac{{x - 2 + y\sqrt 3 }}{4} + \frac{{y - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }}{4}i\)

Ta có \(\left| {z - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{x - 2 + y\sqrt 3 }}{4} + \frac{{y - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }}{4}i - 1} \right| = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {\frac{{x - 6 + y\sqrt 3 }}{4} + \frac{{y - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }}{4}i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y\sqrt 3 - 6} \right)^2} + {\left( {y - x\sqrt 3 + 2\sqrt 3 } \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3{y^2} + 36 - 12x - 12\sqrt 3 y + 2\sqrt 3 xy + {y^2} + 3{y^2} + 12 - 2xy\sqrt 3 + 4\sqrt 3 y - 12x - 16 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 24x - 8\sqrt 3 y + 32 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 2\sqrt 3 y + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 3 } \right)^2} = 4\end{array}\)

Nên bán kính đường tròn là \(R = 2.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.