Biết hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 9x + 1\) nghịch biến trên khoảng

Câu hỏi số 332132:

Vận dụng

Biết hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 9x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\) và đồng biến trên các khoảng còn lại của tập xác định. Nếu \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 6\sqrt 3 \) thì có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa mãn đề bài?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332132

Phương pháp giải

Lập luận để có hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 6\sqrt 3 \)

Từ đó sử dụng hệ thức Vi-et để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

Vì hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 9x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\) và đồng biến trên các khoảng còn lại của tập xác định nên hàm số có hai điểm cực trị \({x_1};{x_2}\) hay \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\)

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6\left( {m - 1} \right)x + 9 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Suy ra \(\Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} - 9 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 6\left( {m - 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = 9\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 6\sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 108 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 108\)

\( \Leftrightarrow 36{\left( {m - 1} \right)^2} - 4.9 = 108 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 1\end{array} \right.\)

Vì \(m\) nguyên dương nên chỉ có \(m = 3\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.