Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}.\) A và B là hai

Câu hỏi số 332884:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}.\) A và B là hai điểm thay đổi trên đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A và B song song với nhau. Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. Tọa độ của điểm đó là

A. \((1;1)\)

B. \((1; - 1)\)

C. \(( - 1; - 1)\)

D. \(( - 1;1)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332884

Phương pháp giải

+) Gọi \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) là hai điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số.

+) Lập phương trình đường thẳng \(AB\) rồi thay tọa độ các điểm trong các đáp án vào phương trình đường thẳng \(AB\) và chọn đáp án đúng.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Ta có: \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 1 - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

Gọi \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\,\,\,\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)\) là hai điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(A\) và \(B\) song song với nhau

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y'\left( {{x_1}} \right) = y'\left( {{x_2}} \right) \Leftrightarrow - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} = - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| = \left| {{x_2} - 1} \right|\\ \Leftrightarrow {x_1} - 1 = 1 - {x_2}\,\,\,\left( {do\,\,{x_1} \ne {x_2}} \right) \Leftrightarrow {x_2} = 2 - {x_1}.\\ \Rightarrow A\left( {{x_1};\,\,\dfrac{{{x_1} + 1}}{{{x_1} - 1}}} \right);\,\,B\left( {2 - {x_1};\,\,\dfrac{{3 - {x_1}}}{{1 - {x_1}}}} \right).\\ \Rightarrow AB:\,\,\dfrac{{x - {x_1}}}{{2 - {x_1} - {x_1}}} = \dfrac{{y - \dfrac{{{x_1} + 1}}{{{x_1} - 1}}}}{{\dfrac{{3 - {x_1}}}{{1 - {x_1}}} - \dfrac{{{x_1} + 1}}{{{x_1} - 1}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - {x_1}}}{{2 - 2{x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{{y\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {{x_1} + 1} \right)}}{{{x_1} - 1}}}}{{\dfrac{{3 - {x_1} + {x_1} + 1}}{{1 - {x_1}}}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - {x_1}}}{{2\left( {1 - {x_1}} \right)}} = \dfrac{{y\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {{x_1} + 1} \right)}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 2\left( {x - {x_1}} \right) = y{\left( {{x_1} - 1} \right)^2} - \left( {x_1^2 - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - {\left( {{x_1} - 1} \right)^2}y - 2{x_1} + x_1^2 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - {\left( {{x_1} - 1} \right)^2}y + x_1^2 - 2{x_1} - 1 = 0.\end{array}\)

+) Thay tọa độ điểm \(\left( {1;\,\,1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(AB\) ta có:

\(\begin{array}{l}2.1 - {\left( {{x_1} - 1} \right)^2} + x_1^2 - 2{x_1} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2 - x_1^2 + 2{x_1} - 1 + x_1^2 - 2{x_1} - 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\,\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {1;\,\,1} \right)\) thuộc đường thẳng \(AB.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.