Chứng minh rằng nếu \(a,b,c\) là các số dương và \(a + b + c = 1\) thì: \({\left( {a + \frac{1}{a}}

Câu hỏi số 333288:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng nếu \(a,b,c\) là các số dương và \(a + b + c = 1\) thì:

\({\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{1}{c}} \right)^2} > 33\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:333288

Phương pháp giải

Chứng minh với 3 số \(A,B,C > 0\) ta có \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{3}\)

Đặt \(A = a + \frac{1}{a}\,\,;\,\,B = b + \frac{1}{b}\,\,;\,\,C = c + \frac{1}{c}\). Áp dụng chứng minh trên và giả thiết đề bài để suy ra đpcm.

Giải chi tiết

Với 3 số \(A,B,C > 0\), áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{A^2} + {B^2} \ge 2AB\,\,\\{B^2} + {C^2} \ge 2BC\,\,\\{C^2} + {A^2} \ge 2AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) \ge 2\left( {AB + BC + CA} \right).\)

Cộng từng vế của BĐT trên với \({A^2} + {B^2} + {C^2}\)

\( \Rightarrow 3\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) \ge {\left( {A + B + C} \right)^2} \Leftrightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{3}\)

Đặt \(A = a + \frac{1}{a}\,\,;\,\,B = b + \frac{1}{b}\,\,;\,\,C = c + \frac{1}{c}\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{1}{c}} \right)^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {a + b + c + \frac{{a + b + c}}{a} + \frac{{a + b + c}}{b} + \frac{{a + b + c}}{c}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {1 + 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + 1 + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + 1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {4 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)^2}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} \\\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\sqrt {\frac{b}{c}.\frac{c}{b}} \\\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \ge 2\sqrt {\frac{c}{a}.\frac{a}{c}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\\\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\\\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \ge 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {4 + 2 + 2 + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{.10^2} = \frac{{100}}{3} > 33\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link