Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Chứng minh \(\Delta ABH\) đồng dạng với \(\Delta
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh \(\Delta ABH\) đồng dạng với \(\Delta CBA\).
b) Cho \(BH = 4cm,BC = 13cm\). Tính độ dài đoạn AB.
c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh \(AE.CH = AH.FC\)
d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.
Quảng cáo
a) Chứng minh \(\Delta ABH \sim \Delta CBA\,\,\left( {g - g} \right)\)
b) Từ a) suy ra công thức để tính AB theo BC và BH
c) Chứng minh \(\Delta EHA \sim \Delta FHC\,\,\left( {g - g} \right)\) từ đó suy ra tỉ lệ các cạnh suy ra đpcm
d) Chứng minh \(\Delta EHF \sim \Delta BAC\,\,\left( {c - g - c} \right)\) với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{{HE}}{{AB}}\).
Từ đó tính \({S_{EHF}}\) theo các đại lượng không đổi \({S_{ABC}}\); AB và đại lượng thay đổi HE \( \Rightarrow \) vị trí điểm E thỏa mãn yêu cầu đề bài.
a) Chứng minh \(\Delta ABH\) đồng dạng với \(\Delta CBA\).
Ta có tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow \angle BAC = {90^o}\)
Mặt khác do tam giác ABC có đường cao AH
\( \Rightarrow \angle BHA = {90^o} \Rightarrow \angle BAC = \angle BHA = {90^o}\)
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CBA\) có:
\(\begin{array}{l}\angle B\,\,\,chung\\\angle BHA = \angle BAC = {90^o}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABH \sim \Delta CBA\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
b) Cho \(BH = 4cm,BC = 13cm\). Tính độ dài đoạn AB.
Ta có \(\Delta ABH \sim \Delta CBA\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow A{B^2} = BC.BH = 13.4 = 52\)
\( \Rightarrow AB = \sqrt {52} \,\,cm\)
c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh \(AE.CH = AH.FC\)
Ta có \(HE \bot HF\,\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle EHF = {90^o}.\)
\( \Rightarrow \angle EHA + \angle AHF = {90^o}\) (1)
Mặt khác do tam giác ABC có đường cao AH
\( \Rightarrow \angle AHC = {90^o}\) (tc) \( \Rightarrow \angle FHC + \angle AHF = {90^o}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle EHA = \angle FHC\) (cùng phụ với \(\angle AHF\))
Xét \(\Delta EHA\) và \(\Delta FHC\) có:
\(\begin{array}{l}\angle EHA = \angle FHC\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle EAH = \angle FCH\,\,\,\left( {\Delta ABH \sim \Delta CBA} \right)\\ \Rightarrow \Delta EHA \sim \Delta FHC\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{FC}} = \frac{{AH}}{{CH}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow AE.CH = AH.FC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.
Ta có tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow \angle ACH + \angle ABH = {90^o}\)
Lại có tam giác ABH vuông tại H \( \Rightarrow \angle BAH + \angle ABH = {90^o}\)
\( \Rightarrow \angle ACH = \angle BAH\) (cùng phụ với \(\angle ABH\))
Xét \(\Delta CAH\) và \(\Delta ABH\) có:
\(\angle ACH = \angle BAH\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\angle AHC = \angle BHA = {90^o}\) (AH là đường cao của tam giác ABC)
\( \Rightarrow \Delta CAH \sim \Delta ABH\,\,\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{AH}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Mà \(\frac{{HF}}{{HE}} = \frac{{CH}}{{AH}}\,\,\left( {do\,\,\Delta EHA \sim \Delta FHC} \right) \Rightarrow \frac{{HF}}{{HE}} = \frac{{AC}}{{AB}}\)
Xét \(\Delta EHF\) và \(\Delta BAC\) có:
\(\begin{array}{l}\angle EHF = \angle BAC = {90^o}\\\frac{{HF}}{{HE}} = \frac{{AC}}{{AB}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta EHF \sim \Delta BAC\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\) với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{{HE}}{{AB}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{EHF}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{HE}}{{AB}}} \right)^2} \Rightarrow {S_{EHF}} = {S_{ABC}}.{\left( {\frac{{HE}}{{AB}}} \right)^2}\)
Mà \({S_{ABC}}\) và AB không đổi nên để \({S_{EHF}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow HE\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow HE \bot AB\)
Vậy với E là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
