Cho z là số phức thỏa mãn (1 - z)(i + ) là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của T = |z

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Số phức

Câu hỏi số 3334:

Cho z là số phức thỏa mãn (1 - z)(i + $\overline{z}$ ) là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của T = |z - i|

A. maxT = 0 minT = -1

B. maxT = √2 minT = 0

C. maxT = 0 minT = -√2

D. maxT = 1 minT = 0

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3334

Giải chi tiết

Đặt z = x + yi (x, y ∈ $\mathbb{R}$ ). Khi đó

(1 - z)(i + $\overline{z}$ ) = ((1 - x) - yi)(x - (y - 1)i)

= (1 - x)x - y(y - 1) - ((1 - x)(y - 1) + yx)i

Số (1 - z)(i + $\overline{z}$ ) là số ảo ⇔ (1 - x)x - y(y - 1) = 0

⇔ x² – x + y² – y = 0

⇔ ( x - $\frac{1}{2}$ )² + (y - $\frac{1}{2}$ )² = $\frac{1}{2}$

⇔ ( $\dpi{100} \small \sqrt{2}$ x - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ )² + ( $\dpi{100} \small \sqrt{2}$ y - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ )² = 1

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2}x-\frac{1}{\sqrt{2}}=sin\alpha \\ \sqrt{2}y-\frac{1}{\sqrt{2}}=cos\alpha \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{\sqrt{2}}sin\alpha +\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}cos\alpha +\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Khi đó T² = |z – i|² = |x + (y – 1)i|² = x² + (y – 1)²

= ( $\frac{1}{\sqrt{2}}$ sinα + $\frac{1}{2}$ )² + ( $\frac{1}{\sqrt{2}}$ cosα - $\frac{1}{2}$ )²

= 1 + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (sinα - cosα) = 1 + sin(α - $\frac{\pi }{4}$ )

Ta có T ≤ √2, dấu đẳng thức khi sin(α - $\frac{\pi }{4}$ ) = 1 hay x = 1, y = 0; và

T ≥ 0, dấu đẳng thức khi sin(α - $\frac{\pi }{4}$ ) = -1 hay x = 0, y = 1

Vậy maxT = √2, đạt khi z = 1; minT = 0, đạt khi z = i

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.