Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(1.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(1.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và\(BC.\) Mặt phẳng \((DMN)\) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi \({V_1}\) là thể tích của phần chứa đỉnh \(A\) và \({V_2}\) là thể tích của phần còn lại. Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng phân chia thể tích, định lý Ta-lét
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \frac{1}{3}S.h\)
Thể tích hình lập phương cạnh \(a\) là \(V = {a^3}.\)
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(DN\) cắt \(AB\) tại \(F.\)
Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) có \(MF\) cắt \(AA',BB'\) lần lượt tại \(I;E.\)
Trong mặt phẳng \(\left( {ADD'A'} \right)\) có \(ID\) cắt \(A'D'\) tại \(K.\)
Như vậy mặt phẳng \(\left( {DMN} \right) \equiv \left( {DNEMK} \right)\)
Suy ra \({V_1} = {V_{ABNDKA'ME}} = {V_{I.AFD}} - {V_{E.BFM}} - {V_{IA'KM}}\)
Xét tam giác \(FAD\) có \(BN = \frac{1}{2}AD;BN//AD \Rightarrow BN\) là đường trung bình của tam giác \(FAD \Rightarrow AB = BF = 1;BN = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow {S_{BNF}} = \frac{1}{2}BF.BN = \frac{1}{2}.1.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) (vì \(FBN\) vuông tại \(B\)).
Lại có \(MB'//BF \Rightarrow \frac{{EB'}}{{EB}} = \frac{{MB'}}{{BF}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{EB'}}{{BB'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow EB' = \frac{1}{3};EB = \frac{2}{3}\)
Và \(IA'//EB' \Rightarrow \frac{{IA'}}{{EB'}} = \frac{{MA'}}{{MB'}} = 1 \Rightarrow IA' = EB' = \frac{1}{3}\)
\(A'K//AD \Rightarrow \frac{{A'K}}{{AD}} = \frac{{IA'}}{{IA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow A'K = \frac{1}{4}\)
Suy ra \({S_{A'MK}} = \frac{1}{2}A'M.A'K = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{16}}\) (vì \(\Delta A'MK\) vuông tại \(A'\))
Lại có \({S_{AFD}} = \frac{1}{2}AF.AD = \frac{1}{2}.\left( {AB + BF} \right).AD = \frac{1}{2}.2.1 = 1\) và \(IA = IA' + AA' = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}{V_1} = {V_{ABNDKA'ME}} = {V_{I.AFD}} - {V_{E.BFM}} - {V_{IA'KM}}\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}IA.{S_{ADF}} - \frac{1}{3}.EB.{S_{BFN}} - \frac{1}{3}IA'.{S_{A'MK}}\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}.\frac{4}{3}.1 - \frac{1}{3}.\frac{2}{3}.\frac{1}{4} - \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{{16}} = \frac{{55}}{{144}}\end{array}\)
Thể tích hình lập phương là \(V = 1 \Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = 1 - \frac{{55}}{{144}} = \frac{{89}}{{144}}\)
Suy ra \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{55}}{{89}}.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
