Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên

Câu hỏi số 334444:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(I\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(IA = 2IB\). \(\)

a) Chứng minh rằng \(SI \bot AC\).

b) Cho góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) theo \(a\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:334444

Giải chi tiết

a) Ta có \(SI \bot \left( {ABC} \right)\), mà \(AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SI \bot AC\).

b) Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng hình bình hành \(ABCD \Rightarrow BC//AD\).

\( \Rightarrow BC//\left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {SA;BC} \right) = d\left( {BC;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)\).

Ta có \(BI \cap \left( {SAD} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {SAD} \right)} \right)}} = \dfrac{{BA}}{{IA}} = \dfrac{3}{2}\).

\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {I;\left( {SAD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(IH \bot AD\,\,\left( {H \in AD} \right)\), trong \(\left( {SHI} \right)\) kẻ \(IK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot SI\\AD \bot IH\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow AD \bot IK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot AD\\IK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAD} \right)} \right) = IK\).

Ta có \(\angle HAI = \angle IBC = {60^0}\) (so le trong), \(AI = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{{2a}}{3}\).

\( \Rightarrow HI = AI.\sin {60^0} = \dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\).

Ta có \(\angle \left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SC;IC} \right) = \angle SCI = {60^0}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(AIC\) ta có:

\(\begin{array}{l}C{I^2} = A{I^2} + A{C^2} - 2.AI.AC.\cos {60^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{a^2}}}{9} + {a^2} - 2.\dfrac{{2a}}{3}.a.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{7{a^2}}}{9} \Rightarrow CI = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}\end{array}\)

Xét tam giác vuông \(SIC\) ta có: \(SI = IC.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SIH\) ta có:

\(IK = \dfrac{{SI.HI}}{{\sqrt {S{I^2} + H{I^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}.\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt {\dfrac{{7{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} }} = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{12}}\).

Vậy \(d\left( {SA;BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{8}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.