Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài các cạnh \(AB = AC = AD = BC = BD = a\) và \(CD = a\sqrt 2 \). Góc giữa
Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài các cạnh \(AB = AC = AD = BC = BD = a\) và \(CD = a\sqrt 2 \). Góc giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Tam giác \(BCD\) có: \(B{C^2} + B{D^2} = C{D^2} = 2{a^2} \Rightarrow \Delta BCD\) vuông cân tại \(B\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\).
Có \(AB = AC = AD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).
Trong \(\left( {BCD} \right)\) dựng hình bình hành \(BCDE\) ta có
\(BC//DE \Rightarrow \angle \left( {BC;AD} \right) = \angle \left( {DE;AD} \right)\).
Tam giác \(BCD\) cân tại \(B \Rightarrow BH\) là phân giác của \(\angle CBD\)
\( \Rightarrow \angle HBD = {45^0}\).
Có \(BE//CD \Rightarrow \angle DBE = \angle BDC = {45^0}\)
\( \Rightarrow \angle HBE = \angle HBD + \angle DBE = {90^0} \Rightarrow \Delta BHE\) vuông tại \(B\).
Ta có: \(BH = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};\,\,BE = CD = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow EH = \sqrt {B{H^2} + B{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
Trong tam giác vuông \(ABH:\,\,AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Trong tam giác vuông \(AHE:\,\,AE = \sqrt {A{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{5{a^2}}}{2}} = a\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(ADE\) có:
\(\cos \angle ADE = \dfrac{{A{D^2} + E{D^2} - A{E^2}}}{{2AD.ED}} = \dfrac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2{a^2}}} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle ADE = {120^0}\).
Vậy \(\angle \left( {AD;BC} \right) = {60^0}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
