Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {2;1;0} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right),\,\,C\left( {0;2; -

Câu hỏi số 335502:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {2;1;0} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right),\,\,C\left( {0;2; - 1} \right)\). Biết đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và cắt đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}\) tại điểm\(D\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(a > 0\) và tứ diện \(ABCD\) có thể tích bằng \(\dfrac{{17}}{6}\). Tổng \(a + b + c\) bằng:

A. 5

B. 4

C. 7

D. 6

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335502

Phương pháp giải

+) Tham số hóa tọa độ điểm \(D\).

+) Sử dụng công thức \({V_{ABCD}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{6}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta \cap d = D \Rightarrow D\left( {1 + 2t; - 1 + t;2 + 3t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;1; - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 2;4} \right)\).

\(\overrightarrow {AD} = \left( {2t - 1;t - 2;3t + 2} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{6} = \dfrac{{\left| { - 6t + 3 - 2t + 4 + 12t + 8} \right|}}{6} = \dfrac{{\left| {4t + 15} \right|}}{6} = \dfrac{{17}}{6}\\ \Leftrightarrow \left| {4t + 15} \right| = 17 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4t + 15 = 17\\4t + 15 = - 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow D\left( {2;\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{7}{2}} \right) (tm)\\t = - 8 \Rightarrow D\left( { - 15; - 9; - 22} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi \(D\left( {2; - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right) \Rightarrow a + b + c = 2 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{2} = 5\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.