Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E\left( {8;1;1} \right)\). Viết phương tình mặt phẳng \(\left( \alpha

Câu hỏi số 336687:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E\left( {8;1;1} \right)\). Viết phương tình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(E\) và cắt chiều dương các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho \(OG\) nhỏ nhất với \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

A. \(x + 2y + 2z - 12 = 0\).

B. \(x + y + 2z - 11 = 0\).

C. \(2x + y + z - 18 = 0\).

D. \(8x + y + z - 66 = 0\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336687

Phương pháp giải

Sử dụng phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng và áp dụng BĐT Bunhiacopski.

Giải chi tiết

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right),\,\left( {a,b,c > 0} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là \(G\left( {\dfrac{a}{3};\dfrac{b}{3};\dfrac{c}{3}} \right)\); \(OG = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{9} + \dfrac{{{b^2}}}{9} + \dfrac{{{c^2}}}{9}} = \dfrac{1}{3}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \).

Do \(E\left( {8;1;1} \right) \in \left( \alpha \right)\) nên \(\dfrac{8}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1\)

Ta có: \(1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{{{{\left( {2 + 2 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{2a + b + c}} = \dfrac{{36}}{{2a + b + c}} \Rightarrow 2a + b + c \ge 36\)

Mà \(2a + b + c \le \sqrt {\left( {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \)

\( \Rightarrow 36 \le \sqrt {6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \ge 6\sqrt 6 \Rightarrow OG \ge 2\sqrt 6 \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{1} = \dfrac{c}{1}\\\dfrac{8}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = c = 6\end{array} \right.\)

Suy ra, \(O{G_{\min }} = 2\sqrt 6 \) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \)\(\left( \alpha \right):\dfrac{x}{{12}} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow \)\(x + 2y + 2z - 12 = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.