Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\) và. Biết góc giữa đường
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\) và
. Biết góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \((SAC)\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
\(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAC}}}}\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(SA\).
Tam giác \(SAB,\,\,SAC\) là các tam giác vuông tại \(B,\,C \Rightarrow IS = IA = IB = IC\).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC \Rightarrow IG \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {SAG} \right)\) kẻ \(SH//IG\,\,\left( {H \in CG} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\). Dễ thấy khi đó \(IG\) là đường trung bình của tam giác \(SAH \Rightarrow SH = 2IG\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \(\angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;AH} \right) = \angle SAH = {45^0}\).
\( \Rightarrow \Delta AIG\) vuông cân tại \(G \Leftrightarrow IG = AG = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow SH = 2IG = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}\dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{4{a^3}}}{3}\).
Ta có \(GA = GB = GC\); \(GA = GH\) (\(IG\) là đường trung bình của tam giác \(SAH\))
\( \Rightarrow GA = GB = GC = GH \Rightarrow G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABHC\).
\( \Rightarrow AH\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABHC\).
\( \Leftrightarrow \angle ACH = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có: \(AH = 2AG = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow CH = \sqrt {A{H^2} - A{C^2}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).
\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt {15} a}}{3}\).
\({S_{\Delta SAC}} = \dfrac{1}{2}SC.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2\sqrt {15} a}}{3}.2a = \dfrac{{2\sqrt {15} {a^2}}}{3}\).
Vậy \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAC}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{4{a^3}}}{3}}}{{\dfrac{{2\sqrt {15} {a^2}}}{3}}} = \dfrac{{2a\sqrt {15} }}{5}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
