Cho đa thức biến x có dạng \(f(x) = {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d\;\;\;(a,b,c,d \in \mathbb{R})\)

Câu hỏi số 336759:

Vận dụng

Cho đa thức biến x có dạng \(f(x) = {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d\;\;\;(a,b,c,d \in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(f(4 + i) = f( - 1 - i) = 0.\) Khi đó \(a + b + c + d\)bằng

A. \(34.\)

B. \(\dfrac{{17}}{8}.\)

C. \(\dfrac{{17}}{5}.\)

D. \(\dfrac{{25}}{8}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336759

Phương pháp giải

Đa thức \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) có 4 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3},\,\,{x_4}\) thì được viết dưới dạng \(f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( {4 + i} \right) = f\left( { - 1 - i} \right) = 0 \Rightarrow x = 4 + i;\,\,x = - 1 - i\) là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

\( \Rightarrow x = 4 - i;\,\,\,x = - 1 + i\) cũng là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc bốn có 4 nghiệm như trên, do đó \(f\left( x \right)\) được viết dưới dạng:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d = \left( {x - 4 - i} \right)\left( {x - 4 + i} \right)\left( {x + 1 + i} \right)\left( {x + 1 - i} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d = \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} - {i^2}} \right]\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {i^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d = \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 1} \right]\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right]\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d = \left( {{x^2} - 8x + 17} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d = {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 8{x^3} - 16{x^2} - 16x + 17{x^2} + 34x + 34\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2a{x^3} + 4b{x^2} + 8cx + 16d = {x^4} - 6{x^3} + 3{x^2} + 18x + 34\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = - 6\\4b = 3\\8c = 18\\16d = 34\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = \dfrac{3}{4}\\c = \dfrac{{18}}{8}\\d = \dfrac{{34}}{{16}}\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c + d = - 3 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{{18}}{8} + \dfrac{{34}}{{16}} = \dfrac{{17}}{8}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.