Tích phân \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{\rm{xlnx d}}x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\) (với

Câu hỏi số 336760:

Vận dụng

Tích phân \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{\rm{xlnx d}}x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\) (với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ). Tính tổng \(a + b + c\).

A. \( - \dfrac{2}{5}\).

B. \(\dfrac{2}{5}\).

C. \(\dfrac{9}{{10}}\).

D. \( - \dfrac{9}{{10}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336760

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)' = \dfrac{{ - 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\dfrac{{x\ln xdx}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{ - 2x\ln x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\ln x\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)'dx} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\ln xd\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)} \\ = - \dfrac{1}{2}\left( {\left. {\ln x.\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}} } \right) = - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\ln 2}}{5} - I} \right)\end{array}\)

\(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{xdx}}{{{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}} \)

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Leftrightarrow dt = 2xdx \Leftrightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Leftrightarrow t = 2\\x = 2 \Leftrightarrow t = 5\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\int\limits_2^5 {\dfrac{{dt}}{{\left( {t - 1} \right)t}}} = \dfrac{1}{2}.\int\limits_2^5 {\left( {\dfrac{1}{{t - 1}} - \dfrac{1}{t}} \right)dt} \\ = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\ln \left| {t - 1} \right| - \ln \left| t \right|} \right)} \right|_2^5 = \dfrac{1}{2}\left( {\ln 4 - \ln 5 - ln1 + ln2} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {3\ln 2 - \ln 5} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{{x\ln xdx}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\ln 2}}{5} - \dfrac{1}{2}\left( {3\ln 2 - \ln 5} \right)} \right) = \dfrac{{13}}{{20}}\ln 2 - \dfrac{1}{4}\ln 5\\ \Rightarrow a = \dfrac{{13}}{{20}};\,\,b = 0;\,\,c = - \dfrac{1}{4} \Rightarrow a + b + c = \dfrac{2}{5}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.