Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _2}\cos x = 2{\log _3}\cot x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;20]\)

Câu hỏi số 336761:

Vận dụng

Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _2}\cos x = 2{\log _3}\cot x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;20]\) bằng

A. \(7\pi \)

B. \(13\pi \)

C. \(\dfrac{{40\pi }}{3}\)

D. \(\dfrac{{70\pi }}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336761

Giải chi tiết

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x > 0\\\cot x > 0\end{array} \right.\).

Đặt \(t = {\log _2}\cos x = 2{\log _3}\cot x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x = {2^t}\\\cot x = {3^{\dfrac{t}{2}}}\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\cot ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {3^t} = \dfrac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} \Leftrightarrow {3^t} - {12^t} = {4^t} \Leftrightarrow {3^t} = {4^t} + {12^t} \Leftrightarrow 1 = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + {4^t}\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + {4^t} \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t}\ln \dfrac{4}{3} + {4^t}\ln 4 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm.

Ta thấy \(f\left( { - 1} \right) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{ - 1}} + {4^{ - 1}} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\) nên \(t = - 1\) là nghiệm duy nhất của (*).

\( \Leftrightarrow {\log _2}\cos x = - 1 \Leftrightarrow \cos x = {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\(x \in \left[ {0;20} \right] \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \le 20 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{{20 - \dfrac{\pi }{6}}}{{2\pi }}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{7\pi }}{3};\dfrac{{13\pi }}{3};\dfrac{{19\pi }}{3}} \right\}\).

Tổng các nghiệm là \(\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{7\pi }}{3} + \dfrac{{13\pi }}{3} + \dfrac{{19\pi }}{3} = \dfrac{{40\pi }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.