Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\). Thể tích của khối

Câu hỏi số 337445:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\). Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng

A. \(\frac{1}{{18\sqrt 3 }}\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 3{b^2}} \right)}^3}} \)

B. \(\frac{\pi }{{18\sqrt 3 }}\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 3{b^2}} \right)}^3}} \)

C. \(\frac{\pi }{{18\sqrt 3 }}\sqrt {{{\left( {4{a^2} + {b^2}} \right)}^3}} \)

D. \(\frac{\pi }{{18\sqrt 2 }}\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 3{b^2}} \right)}^3}} \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337445

Phương pháp giải

- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ (trung điểm đoạn nối tâm).

- Tính bán kính theo Pitago suy ra thể tích \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).

Giải chi tiết

Gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm đáy, \(I\) là trung điểm của \(OO'\) thì \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và bán kính \(R = IA'\).

Ta có: \(A'O' = \frac{2}{3}A'M' = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3};\,\,IO' = \frac{1}{2}OO' = \frac{b}{2}\)

Do đó \(IA' = \sqrt {IO{'^2} + A'O{'^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\frac{{4{a^2} + 3{b^2}}}{{12}}} \).

Thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi IA{'^2} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\sqrt {\frac{{4{a^2} + 3{b^2}}}{{12}}} } \right)^3}\) \( = \frac{{4\pi }}{{3.12\sqrt {12} }}\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 3{b^2}} \right)}^3}} = \frac{\pi }{{18\sqrt 3 }}\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 3{b^2}} \right)}^3}} \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.