Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - {m^3} - m\) (\(m\) là tham số). Gọi \(A,B\)

Câu hỏi số 337473:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - {m^3} - m\) (\(m\) là tham số). Gọi \(A,B\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và \(I\left( {2; - 2} \right)\). Tổng tất cả các giá trị của \(m\) để ba điểm \(I,A,B\) tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt 5 \) là

A. \(\frac{{20}}{{17}}\)

B. \( - \frac{2}{{17}}\)

C. \(\frac{4}{{17}}\)

D. \(\frac{{14}}{{17}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337473

Phương pháp giải

- Tính \(y'\) và tìm nghiệm của \(y' = 0\).

- Tìm tọa độ hai điểm cực trị và tìm điều kiện để tam giác \(IAB\) nội tiếp đường tròn bán kính \(\sqrt 5 \).

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m + 1 \Rightarrow y = - 4m - 2\\x = m - 1 \Rightarrow y = - 4m + 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {m + 1; - 4m - 2} \right)\) là điểm cực tiểu, \(B\left( {m - 1; - 4m + 2} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Dễ thấy \(AB = 2\sqrt 5 = 2R\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IAB\) có tâm chính là trung điểm \(AB\) hay tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\).

Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - m;4m} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {3 - m; - 4 + 4m} \right)\) nên \(IA \bot IB \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right)\left( {3 - m} \right) + 4m\left( { - 4 + 4m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 - 16m + 16{m^2} = 0\) \( \Leftrightarrow 17{m^2} - 20m + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{3}{{17}}\end{array} \right.\).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(1 + \frac{3}{{17}} = \frac{{20}}{{17}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.