Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;4;0}

Câu hỏi số 337475:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;4;0} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - y - 2z + 2017 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất. \(\left( Q \right)\) có một véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {1;a;b} \right)\), khi đó \(a + b\) bằng

A. \(4\)

B. \(0\)

C. \(1\)

D. \( - 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337475

Phương pháp giải

- Thiết lập mối quan hệ \(a,b\) dựa vào điều kiện \(\left( Q \right)\) chứa \(A,B\).

- Lập biểu thức tính góc giữa hai mặt phẳng và tìm điều kiện để \(\cos \alpha \) đạt GTLN (\(\alpha \) đạt GTNN).

Giải chi tiết

Ta có : \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2;1} \right),\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {1;a;b} \right)\).

\(\left( Q \right)\) đi qua \(A,B\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} .\overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow - 1 + 2a + b = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a\).

\(\begin{array}{l}
\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}\\
= \dfrac{{\left| {2 - a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }}\\
= \dfrac{{\left| {2 - a - 2\left( {1 - 2a} \right)} \right|}}{{3\sqrt {1 + {a^2} + {{\left( {2a - 1} \right)}^2}} }}\\
= \dfrac{{\left| {3a} \right|}}{{3\sqrt {5{a^2} - 4a + 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {5 - \dfrac{4}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}} }}
\end{array}\)

Đặt \(t = \frac{1}{a}\) thì \(\sqrt {5 - \frac{4}{a} + \frac{2}{{{a^2}}}} = \sqrt {5 - 4t + 2{t^2}} = \sqrt {2{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {5 - \frac{4}{a} + \frac{2}{{{a^2}}}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos \alpha \le \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \alpha \) đạt GTNN khi \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Dấu bằng xảy ra khi \(t = 1 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow b = - 1 \Rightarrow a + b = 0\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.