Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân có \(AB = BC = a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân có \(AB = BC = a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(\widehat {SBA} = 60^\circ .\) Gọi \(M\) là điểm nằm trên \(AC\) sao cho \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CM} \). Tính khoảng cách giữa \(SM\) và \(AB.\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+ Sử dụng \(d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\) với \(b \subset \left( P \right),a//\left( P \right),\,A \in a\) để đưa về tìm khoảng cách giữa điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(AB//\left( P \right).\)
+ Sử dụng định lý Pytago và hệ thúc lượng trong tam giác vuông để tính toán.
Trong \(\left( {ABC} \right)\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AB,\) qua B kẻ đường thẳng song song với \(AM\) . Hai đường thẳng này cắt nhau tại \(E\) ta được tứ giác \(ABEM\) là hình bình hành.
Vì \(ME//AB \Rightarrow AB//\left( {SME} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right)\)
Từ \(A\) trong mặt phẳng \(\left( {ABEM} \right)\) kẻ \(AK \bot ME\) , lại có \(ME \bot SA\left( {do\,SA \bot \left( {ABEM} \right)} \right) \Rightarrow EK \bot \left( {SAK} \right)\)
Trong \(\left( {SAK} \right)\) kẻ \(AH \bot SK\) tại \(H\)
Ta có \(AH \bot SK;\,EK \bot AH\left( {do\,EK \bot \left( {SAK} \right)} \right) \Rightarrow AH \bot \left( {SKE} \right)\) tại \(H.\)
Từ đó \(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right) = AH\)
+ Xét tam giác \(SBA\) vuông tại \(A\) có \(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\)
+ Lại có \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 \Rightarrow CM = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó \(AM = AC + CM = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)
+ \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(\widehat {ACB} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {CBE} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (hai góc so le trong)
Từ đó \(\widehat {ABE} = \widehat {ABC} + \widehat {CBE} = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ \) , suy ra \(\widehat {AME} = 135^\circ \) (hai góc đối hình bình hành)
Nên tam giác \(AME\) là tam giác tù nên \(K\) nằm ngoài đoạn \(ME.\)
Ta có \(\widehat {KMA} = 180^\circ - \widehat {AME} = 45^\circ \) mà tam giác \(AMK\) vuông tại \(K\) nên tam giác \(AMK\) vuông cân tại \(K \Rightarrow AK = \dfrac{{AM}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{3a}}{2}.\)
+ Xét tam giác \(SAK\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\), ta có
\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{9{a^2}}}{4}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{3a\sqrt 7 }}{7}\)
Vậy \(d\left( {AB;SM} \right) = \dfrac{{3a\sqrt 7 }}{7}.\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
