Phương trình \({\log _3}\dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 3{x^2} - 8x + 5\) có hai nghiệm là

Câu hỏi số 339716:

Vận dụng

Phương trình \({\log _3}\dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 3{x^2} - 8x + 5\) có hai nghiệm là \(a\) và \(\dfrac{a}{b}\) (với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị của \(b\) là

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339716

Phương pháp giải

- Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(u,v\) là các biểu thức ẩn \(x\).

- Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm \(y = f\left( t \right)\) suy ra mối quan hệ \(u,v\).

Giải chi tiết

Điều kiện : \(\dfrac{1}{2} < x \ne 1\).

Khi đó \({\log _3}\dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 3{x^2} - 8x + 5\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 1} \right) - {\log _3}{\left( {x - 1} \right)^2} = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {2x - 1} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 1} \right) + \left( {2x - 1} \right) = 3{\left( {x - 1} \right)^2} + {\log _3}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\log _3}3\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 1} \right) + \left( {2x - 1} \right) = 3{\left( {x - 1} \right)^2} + {\log _3}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm \(y = f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) với \(t > 0\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t > 0\)

Do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Phương trình \(\left( * \right)\) là \(f\left( {2x - 1} \right) = f\left( {3{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right) \Leftrightarrow 2x - 1 = 3{\left( {x - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2x - 1 = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy phương trình có nghiệm \(2\) và \(\dfrac{2}{3}\) nên \(a = 2,b = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.