Cho \(A\left( {1;4;2} \right),B\left( { - 1;2;4} \right)\), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y

Câu hỏi số 339718:

Vận dụng

Cho \(A\left( {1;4;2} \right),B\left( { - 1;2;4} \right)\), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 2 + 2t\\z = 4 + t\end{array} \right.\) và điểm \(M\) thuộc \(d\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(AMB\)

A. \(2\sqrt 3 \)

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(3\sqrt 2 \)

D. \(6\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339718

Phương pháp giải

- Gọi tọa độ điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\).

- Tính diện tích tam giác \(MAB\) và đánh giá GTNN của của diện tích.

Công thức tính diện tích: \({S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } \right]} \right|\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {5 - 4t;2 + 2t;4 + t} \right) \in d\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \left( { - 4 + 4t;2 - 2t; - 2 - t} \right)\), \(\overrightarrow {MB} = \left( { - 6 + 4t; - 2t; - t} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } \right] = \left( { - 6t; - 6t + 12; - 12t + 12} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } \right]} \right| = \sqrt {36{t^2} + 36{{\left( {t - 2} \right)}^2} + 144{{\left( {t - 1} \right)}^2}} \) \( = 6\sqrt {8{t^2} - 16t + 10} = 6\sqrt {8{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 2} \)

\( \Rightarrow {S_{MAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } \right]} \right| = 3\sqrt {8{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 2} \ge 3\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra khi \(t = 1 \Rightarrow M\left( {1;4;5} \right)\).

Vậy diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất bằng \(3\sqrt 2 \) khi \(M\left( {1;4;5} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.