Cho đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = 1\) và \(x = 2.\) Biết \(\mathop

Câu hỏi số 339725:

Vận dụng cao

Cho đa thức bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = 1\) và \(x = 2.\) Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + f'\left( x \right)}}{{2x}} = 2.\) Tích phân \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\dfrac{3}{2}\)

B. \(\dfrac{1}{4}\)

C. \(\dfrac{3}{4}\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339725

Phương pháp giải

Từ giả thiết biến đổi để có \(f'\left( 0 \right) = 0\)

Từ đó tìm được hàm \(f'\left( x \right)\) và tính tích phân.

Giải chi tiết

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + f'\left( x \right)}}{{2x}} = 2\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2x = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2x + f'\left( x \right)} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0\) (vì nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2x + f'\left( x \right)} \right) \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + f'\left( x \right)}}{{2x}} = \infty \ne 2\))

Từ đó \(x = 0;x = 1;x = 2\) là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm \(x = 0;x = 1;x = 2\)

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm \(f'\left( x \right) = m.x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

Từ đề bài ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + mx\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x}} = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 + m\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{2} = 2 \Rightarrow \dfrac{{2 + 2m}}{2} = 2 \Leftrightarrow m = 1\)

Nên \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x\)

Từ đó \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)dx} = \dfrac{1}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.