Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)

Câu hỏi số 339726:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {1;2} \right]\)?

A. \(15\)

B. \(16\)

C. \(17\)

D. \(18\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339726

Phương pháp giải

- Đặt \(\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} = u\) đưa về phương trình \(g\left( w \right) = g\left( v \right)\) với \(w,v\) là các biểu thức ẩn \(x,u\).

- Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm \(y = g\left( x \right)\) suy ra mối quan hệ \(x,t\).

Giải chi tiết

Đặt \(\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} = u \Rightarrow f\left( x \right) + m = {u^3}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( u \right) = {x^3} - m\\f\left( x \right) = {u^3} - m\end{array} \right. \Rightarrow f\left( u \right) - f\left( x \right) = {x^3} - {u^3} \Leftrightarrow f\left( u \right) + {u^3} = f\left( x \right) + {x^3}\)

Xét hàm \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^3}\) \( = {x^5} + 3{x^3} - 4m + {x^3} = {x^5} + 4{x^3} - 4m\) có \(g'\left( x \right) = 5{x^4} + 12{x^2} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

Do đó \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\).

\( \Rightarrow f\left( u \right) + {u^3} = f\left( x \right) + {x^3} \Leftrightarrow u = x\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} = x\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) + m = {x^3} \Leftrightarrow {x^5} + 3{x^3} - 4m + m = {x^3} \Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} = 3m\)

Xét hàm \(h\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) có \(h'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

\( \Rightarrow h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\) \( \Rightarrow h\left( 1 \right) \le h\left( x \right) \le h\left( 2 \right) \Rightarrow 3 \le h\left( x \right) \le 48\).

Phương trình \(h\left( x \right) = 3m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {1;2} \right]\) \( \Leftrightarrow 3 \le 3m \le 48 \Leftrightarrow 1 \le m \le 16\)

Vậy có \(16\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.