Cho hình trụ có trục \(OO'\), bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h = \dfrac{{3r}}{2}\). Hai điểm \(M,N\)

Câu hỏi số 339805:

Vận dụng

Cho hình trụ có trục \(OO'\), bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h = \dfrac{{3r}}{2}\). Hai điểm \(M,N\) di động trên đường tròn đáy \(\left( O \right)\) sao cho \(OMN\) là tam giác đều. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {O'MN} \right)\). Khi \(M,N\) di động trên đường tròn \(\left( O \right)\) thì đoạn thẳng \(OH\) tạo thành mặt xung quanh của một hình nón, tính diện tích \(S\) của mặt này

A. \(S = \dfrac{{9\sqrt 3 \pi {r^2}}}{{32}}\)

B. \(S = \dfrac{{9\sqrt 3 \pi {r^2}}}{{16}}\)

C. \(S = \dfrac{{9\pi {r^2}}}{{32}}\)

D. \(S = \dfrac{{9\pi {r^2}}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339805

Phương pháp giải

- Dựng hình chiếu của \(O\) lên \(\left( {O'MN} \right)\) và tâm đáy hình nón.

- Diện tích xung quanh hình nón \(S = \pi Rl\) với \(R\) là bán kính đáy, \(l\) là độ dài đường sinh

Giải chi tiết

Gọi \(K\) là trung điểm của \(MN\), \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(O'K\), \(I\) là hình chiếu của \(H\) lên \(O'O\).

Dễ thấy \(MN \bot \left( {OKO'} \right) \Rightarrow MN \bot OH\). Do đó \(OH \bot \left( {O'MN} \right)\).

Ta có : \(\Delta OMN\) đều cạnh \(r\) nên \(OK = \dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}\), mà \(OO' = \dfrac{{3r}}{2}\)

\( \Rightarrow OH = \dfrac{{OK.OO'}}{{\sqrt {O{K^2} + O'{O^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{r\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{3r}}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{r^2}}}{4} + \dfrac{{9{r^2}}}{4}} }} = \dfrac{{3r}}{4}\).

Lại có \(O'K = \sqrt {O'{O^2} + O{K^2}} = r\sqrt 3 ,\,\,\,O'H = \dfrac{{O'{O^2}}}{{O'K}} = \dfrac{{3r\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{OK}} = \dfrac{{O'H}}{{O'K}} = \dfrac{{\dfrac{{3r\sqrt 3 }}{4}}}{{r\sqrt 3 }} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow HI = \dfrac{3}{4}OK = \dfrac{3}{4}.\dfrac{{r\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3r\sqrt 3 }}{8}\)

Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi .HI.OH = \pi .\dfrac{{3r\sqrt 3 }}{8}.\dfrac{{3r}}{4} = \dfrac{{9\sqrt 3 \pi {r^2}}}{{32}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.