Cho khối chóp \(S.ABCD\) có thể tích bằng \(1,\) đáy \(ABCD\) là hình thang với cạnh đáy lớn là
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có thể tích bằng \(1,\) đáy \(ABCD\) là hình thang với cạnh đáy lớn là \(AD\) và \(AD = 3BC.\) Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SA,N\) là điểm thuộc cạnh \(CD\) sao cho \(ND = 3NC.\) Mặt phẳng \(\left( {BMN} \right)\) cắt cạnh \(SD\) tại \(P.\) Tính thể tích khối chóp \(A.MBNP\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng phân chia khối đa diện để tính thể tích \(A.BMPN\)
Sử dụng tỉ lệ thể tích: Chóp tam giác \(S.ABC\) có \(M,N,P\) bất kì lần lượt thuộc cạnh \(SA,SB,SC\) suy ra \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}\)
Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}h.S\)
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(BN\) cắt \(AD\) tại \(F.\)
Trong \(\left( {SAD} \right)\) có \(MF \cap SD = \left\{ P \right\}\)
Vì \(BC//DF \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{DF}} = \dfrac{{CN}}{{ND}} = \dfrac{1}{3}\)
\( \Rightarrow DF = 3BC \Rightarrow DF = AD\)
Xét tam giác \(SAF\) có \(FM,SD\) là hai đường trung tuyến nên \(P\) là trọng tâm \(\Delta SAD \Rightarrow \dfrac{{SP}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}.\)
Ta có \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {BC + AD} \right).h}}{2} = 2a.h\) (với \(BC = a;\,h\) là chiều cao hình thang)
Ta có \({S_{BCN}} = \dfrac{1}{2}d\left( {N,BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}a.\dfrac{1}{4}.h = \dfrac{1}{8}ah = \dfrac{1}{{16}}{S_{ABCD}}\)
Tương tự ta có \({S_{AND}} = \dfrac{1}{2}d\left( {N;AD} \right).AD = \dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{3}{4}h = \dfrac{9}{8}ah = \dfrac{9}{{16}}{S_{ABCD}}\)
Suy ra \({S_{ABN}} = {S_{ABCD}} - {S_{BCN}} - {S_{ADN}} = {S_{ABCD}} - \dfrac{1}{{16}}{S_{ABCD}} - \dfrac{9}{{16}}{S_{ABCD}} = \dfrac{3}{8}{S_{ABCD}}\)
Từ đó \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}} = 1\) và \({V_{S.BAN}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {S;\left( {BAN} \right)} \right).{S_{BAN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).\dfrac{3}{8}{S_{ABCD}} = \dfrac{3}{8}\)
\({V_{S.ADN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).\dfrac{9}{{16}}{S_{ABCD}} = \dfrac{9}{{16}}\)
Lại có \(\dfrac{{{V_{S.MBN}}}}{{{V_{S.ABN}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.MBN}} = \dfrac{1}{2}.{V_{S.ABN}}\) suy ra \({V_{A.MBN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{{16}}\)
Và \(\dfrac{{{V_{S.MPN}}}}{{{V_{S.ADN}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {V_{A.MPDN}} = \dfrac{2}{3}.{V_{S.ADN}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{9}{{16}} = \dfrac{3}{8}.\)
\({V_{P.ADN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {P,\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).\dfrac{9}{{16}}{S_{ABCD}} = \dfrac{3}{{16}}{V_{ABCD}} = \dfrac{3}{{16}}\)
Suy ra \({V_{A.MNP}} = {V_{A.MNDP}} - {V_{P.AND}} = \dfrac{3}{8} - \dfrac{3}{{16}} = \dfrac{3}{{16}}\)
Từ đó \({V_{A.MBNP}} = {V_{A.MNB}} + {V_{A.MNP}} = \dfrac{3}{{16}} + \dfrac{3}{{16}} = \dfrac{3}{8}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
