Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = 3 + 4t\\z = 0\end{array}
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = 3 + 4t\\z = 0\end{array} \right.\). Gọi \(A\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(d\). Điểm \(M\) di động trên tia \(Oz\), điểm \(N\) di động trên đường thẳng \(d\) sao cho \(MN = OM + AN\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\). Trong trường hợp diện tích tam giác \(IMN\) đạt giá trị nhỏ nhất, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {M,d} \right)\) có tọa độ là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Trên tia đối của tia \(Oz\) lấy điểm \(P\) sao cho \(OP = AN\).
- Tính diện tích tam giác \(IMN\) và tìm GTNN của diện tích
Gọi \(A\left( {4 - 3t;3 + 4t;0} \right) \in d\).
Do \(OA \bot d\) nên \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {4 - 3t} \right).\left( { - 3} \right) + \left( {3 + 4t} \right).4 + 0.0 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow A\left( {4;3;0} \right)\).
Trên tia đối của tia \(Oz\) lấy điểm \(P\) sao cho \(OP = AN\).
Có \(\Delta OIP = \Delta AIN\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IP = IN\).
Xét tam giác \(\Delta IMP\) và \(\Delta IMN\) có :
\(IP = IN\left( {cmt} \right)\)
\(IM\) chung
\(MP = MO + OP = MO + AN = MN\)
Do đó \(\Delta IMP = \Delta IMN\left( {c.c.c} \right)\) suy ra \({S_{IMN}} = {S_{IMP}} = \dfrac{1}{2}IO.MP\)
\( \Rightarrow {S_{IMN}}\) đạt GTNN khi \(MP\) đạt GTNN.
Dễ thấy \(AN \bot \left( {MOA} \right) \Rightarrow AN \bot MA\) nên \(M{P^2} = M{N^2} = M{A^2} + A{N^2}\)
\( = M{O^2} + O{A^2} + A{N^2} = \left( {M{O^2} + A{N^2}} \right) + 25 \ge 2{\left( {\dfrac{{MO + AN}}{2}} \right)^2} + 25 = \dfrac{{M{N^2}}}{2} + 25\)
\( \Rightarrow M{N^2} \ge \dfrac{{M{N^2}}}{2} + 25 \Leftrightarrow M{N^2} \ge 50 \Rightarrow MN \ge 5\sqrt 2 \) hay \(MP \ge 5\sqrt 2 \).
Dấu bằng xảy ra khi \(MO = AN \Leftrightarrow MO = MP = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow M\left( {0;0;\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)\).
\( \Rightarrow VTPT\) của mặt phẳng \(\left( {M,d} \right)\) là \(\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {10\sqrt 2 ;\dfrac{{15}}{{\sqrt 2 }};25} \right)\) hay \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{5}\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4;3;5\sqrt 2 } \right)\)
Chọn A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
