Giải hệ phương trình:

Câu hỏi số 34018:

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy^{2}(\sqrt{x^{2}+1}+1)=3\sqrt{y^{2}+9}+3y & \\ (3x-1)\sqrt{x^{2}y+xy-5}-4x^{3}+3x^{3}y-7x=0& \end{matrix}\right.$

A. (2;3); $(2;\frac{3}{2})$

B. (1;3); $(2;\frac{3}{2})$

C. (1;-3); $(2;\frac{3}{2})$

D. (-1;3); $(2;\frac{3}{2})$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:34018

Giải chi tiết

ĐK: x²y+xy $\geq$ 5

Xét phương trình (1) $3\sqrt{y^{2}+9}+3y>3\left | y \right |+3y,\forall y; y^{2}(\sqrt{x^{2}+1}+x)\geq 0,\forall x;y \Rightarrow x>0$

Mà x²y+xy $\geq$ 5 $\Leftrightarrow$ y(x²+x)>5 => y>0

Khi đó ta có: $x\sqrt{x^{2}+1}+x=\frac{3}{y}\sqrt{1+(\frac{3}{y})^{2}}+\frac{3}{y}$ (1a)

Xét hàm số $f(t)=t\sqrt{t^{2}+1}, t\in (0;+\infty )$ $\Rightarrow f' (t)=\sqrt{t^{2}+1}+\frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+1}}+1> 0,\forall t\in (0;+\infty )$

$\Rightarrow$ Hàm số f(t) đồng biến trên (0;+ $\infty$ )

Do đó phương trình (1a) $\Leftrightarrow f(x)=f\left ( \frac{3}{y} \right )\Leftrightarrow x=\frac{3}{y}\Leftrightarrow y=\frac{3}{x}$

Thay y= $\frac{3}{x}$ vào PT(2) ta có:

$(3x-1)(\sqrt{3x-2})-4x^{3}+9x^{2}-7x=0$

$\Leftrightarrow (3x-1)(\sqrt{3x -2}-x)=4x^{3}-12x^{2}+8x$

$\Leftrightarrow (3x-1)\frac{-x^{2}+3x-1}{\sqrt{3x-1}+x}=4x^{3}-12x^{2}+8x$

$\Leftrightarrow (x^{2}-3x+2)\left ( x+\frac{3x-1}{\sqrt{3x-2}+x} \right )=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 & \\ x=2 & \end{matrix}$ ( vì $x+\frac{3x-1}{\sqrt{3x-2}+x}> 0,\forall x\geq \frac{2}{3}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;3); $(2;\frac{3}{2})$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.