Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;4;5} \right),B\left( {0;3;1} \right),C\left( {2; - 1;0}

Câu hỏi số 340646:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;4;5} \right),B\left( {0;3;1} \right),C\left( {2; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 3y - 2z - 15 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ \(M\) đến \(A,B,C\) nhỏ nhất. Tính \(a + b + c\).

A. \( - 3\)

B. \(5\)

C. \( - 5\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340646

Phương pháp giải

- Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), tìm tọa độ \(G\).

- Viết lại biểu thức cần tìm GTNN dưới dạng véc tơ, xen điểm \(G\) và tìm GTNN.

Giải chi tiết

Xét biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\).

Gọi \(G\left( {1;2;2} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Ta có : \(T = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\) \( = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

\( = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\)

\( = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(G\) lên \(\left( P \right)\) thì \(MG \ge HG\) nên \(T\) đạt GTNN nếu \(M \equiv H\).

Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(G\left( {1;2;2} \right)\) và vuông góc \(\left( P \right)\).

Khi đó \(d\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {3; - 3; - 2} \right)\) làm VTCP nên \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 3t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\)

\(M = d \cap \left( P \right)\) nên tọa độ của \(M\) thỏa mãn hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 3t\\z = 2 - 2t\\3x - 3y - 2z - 15 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 3\left( {1 + 3t} \right) - 3\left( {2 - 3t} \right) - 2\left( {2 - 2t} \right) - 15 = 0\) \( \Leftrightarrow - 22 + 22t = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {4; - 1;0} \right)\)

\( \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 0 \Rightarrow a + b + c = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.