Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(3,\) hình chiếu vuông góc của \(S\)

Câu hỏi số 340653:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(3,\) hình chiếu vuông góc của \(S\)
trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(H\) nằm trên đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(AB = 3AH,SH = \sqrt 3 .\) Khoảng
cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) bằng:

A. \(3\)

B. \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(2\sqrt 3 \)

D. \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340653

Phương pháp giải

Sử dụng \(d\left( {M;\left( {\left( P \right)} \right)} \right) = d\left( {N;\left( P \right)} \right)\) với \(MN//\left( P \right)\)

Sử dụng công thức chuyển điểm: Đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(M\) thì \(\dfrac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{AM}}{{BM}}\).

Xác định khoảng cách \(d\left( {N;\left( P \right)} \right) = NH\) với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(\left( P \right).\)

Giải chi tiết

Vì \(BC//AD \Rightarrow BC//\left( {SAD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)\)

Lại có \(AB = 3AH \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{AH}} = 3.\)

Hay \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = 3d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SA\left( {do\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right)\)

Kẻ \(HK \bot SA\) tại \(K\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SA\\HK \bot AD\left( {do\,AD \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right.\)

Nên \(HK \bot \left( {SAD} \right)\) tại \(K\) nên \(d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right) = HK\)

Ta có \(AB = 3 \Rightarrow AH = 1.\)

Xét tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\) có \(\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{A^2}}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{1} \Rightarrow HK = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.