Cho phương trình \({\left( {{x^2} - 3x + m} \right)^2} + {x^2} - 8x + 2m = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \([ - 20;20]\) để phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt?

Câu 340663: Cho phương trình \({\left( {{x^2} - 3x + m} \right)^2} + {x^2} - 8x + 2m = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \([ - 20;20]\) để phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt?

A. \(19\)

B. \(18\)

C. \(17\)

D. \(20\)

Câu hỏi : 340663

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Đặt \({x^2} - 3x + m = t\) rồi biến đổi đưa về phương trình tích

+) Từ đó sử dụng sự tương giao của hai đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.

+) Phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có số nghiệm bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right).\)

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình \({\left( {{x^2} - 3x + m} \right)^2} + {x^2} - 8x + 2m = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + m} \right)^2} + \left( {{x^2} - 3x + m} \right) - 5x + m = 0\)

Đặt \({x^2} - 3x + m = t \Rightarrow m = t - {x^2} + 3x\) ta có phương trình

\(\begin{array}{l}{t^2} + t - 5x + t - {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow {t^2} - {x^2} + 2t - 2x = 0 \Leftrightarrow \left( {t - x} \right)\left( {t + x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - x = 0\\t + x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + m = 0\\{x^2} - 2x + 2 + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - {x^2} + 4x\\m = - {x^2} + 2x - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 4x\) và \(y = - {x^2} + 2x - 2\)

Từ đồ thị hàm số ta thấy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m \ne - 5\end{array} \right.\)

Mà \(m \in \left[ { - 20;20} \right];\,\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 20; - 19;...; - 6; - 4; - 3; - 2} \right\}\) nên có \(18\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.