Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn \(\left| {iz + 1 + 2i} \right| = 3\) và biểu thức

Câu hỏi số 340854:

Vận dụng

Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn \(\left| {iz + 1 + 2i} \right| = 3\) và biểu thức \(T = 2\left| {z + 5 + 2i} \right| + 3\left| {z - 3i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của \(T\). Tính tích \(Mn\).

A. \(Mn = 2\sqrt {13} \).

B. \(Mn = 6\sqrt {13} \).

C. \(Mn = 5\sqrt {13} \).

\(Mn = 10\sqrt {21} \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340854

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski.

Giải chi tiết

Gọi \(K\left( {x;y} \right)\)là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) với

\(\left| {iz + 1 + 2i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| i \right|.\left| {z - i + 2} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {z - i + 2} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\)

Suy ra tập hợp điểm K là đường tròn (C) tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Ta có:

\(T = 2\left| {z + 5 + 2i} \right| + 3\left| {z - 3i} \right| = 2KA + 3KB = \sqrt 2 .\sqrt 2 KA + \sqrt 3 .\sqrt 3 KB \le \sqrt {5.\left( {2K{A^2} + 3K{B^2}} \right)} \)

với \(A\left( { - 5; - 2} \right),B\left( {0;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( { - 3; - 3} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {2;2} \right)\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và \(IA = \sqrt {18} ,\,\,\,IB = \sqrt 8 \).

Mà \(2K{A^2} + 3K{B^2} = 2{\overrightarrow {KA} ^2} + 3{\overrightarrow {KB} ^2} = 2{\left( {\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} = 5K{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2} + 2.\overrightarrow {KI} .\left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right) = {5.3^2} + 2.18 + 3.8 = 105\\ \Rightarrow T \le \sqrt {5.105} = 5\sqrt {21} \end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(K \in \left( C \right)\) và \(KA = KB \Leftrightarrow K\) là giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) và đường trung trực d của AB.

\(\left( d \right):x + \dfrac{5}{2} + y - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x + y + 2 = 0\), \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| { - 2 + 1 + 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} < R\)

Do dó d cắt (C) tại hai điểm phân biệt \( \Rightarrow n = 2,\,\,M = 5\sqrt {21} \Rightarrow Mn = 10\sqrt {21} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.