Cho phương trình \(m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) - {x^2} + 2x = 0\) (m là tham số). Biết

Câu hỏi số 340874:

Vận dụng

Cho phương trình \(m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) - {x^2} + 2x = 0\) (m là tham số). Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình trên có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;1 + 2\sqrt 2 } \right]\) là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Tính giá trị biểu thức \(T = 2b - a\).

A. \(T = 4\).

B. \(T = \dfrac{7}{2}\).

C. \(T = 3\).

D. \(T = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340874

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 1} \ge 1\). Khi đó \(T = {x^2} - 2x = {t^2} - 2\).

Khi \(x \in \left[ {0;1 + 2\sqrt 2 } \right]\) thì \(t \in \left[ {1;3} \right]\)

Phương trình \(m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) - {x^2} + 2x = 0\) trở thành \(m\left( {t + 1} \right) - {t^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}\) (*)

Đặt \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}\), \(t \in \left[ {1;3} \right]\). Ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 2t + 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall t \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\)

Khi đó, (*) có nghiệm \(t \in \left[ {1;3} \right]\) \( \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) \Leftrightarrow f\left( 1 \right) \le m \le f\left( 3 \right) \Leftrightarrow m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4}} \right]\)

Suy ra, \(T = 2b - a = 4\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.