Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(1;0;0),B(5;6;0).\) M là điểm thay đổi trên mặt cầu

Câu hỏi số 342962:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(1;0;0),B(5;6;0).\) M là điểm thay đổi trên mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1.\) Tập hợp các điểm M trên mặt cầu (S) thỏa mãn \(3M{A^2} + M{B^2} = 48\) có bao nhiêu phần tử?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342962

Phương pháp giải

+) Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Vì \(M \in \left( S \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

+) Biến đổi biểu thức \(3M{A^2} + M{B^2} = 48\), chứng minh \(M \in \left( P \right)\).

+) Tập hợp các điểm \(M\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Vì \(M \in \left( S \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

Theo bài ra ta có \(3M{A^2} + M{B^2} = 48\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\left( {a - 1} \right)^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {c^2} = 48\\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2} - 16a - 12b + 64 = 48\\ \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 16a - 12b + 64 = 48\\ \Leftrightarrow 4 - 16a - 12b + 64 = 48 \Leftrightarrow 16a + 12b - 20 = 0 \Leftrightarrow 4a + 3b - 5 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow M \in \left( P \right):\,\,4x + 3y - 5 = 0\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) bán kính \(R = 1\).

Ta có \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 1 = R \Rightarrow \left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại 1 điểm duy nhất.

Vậy có duy nhất 1 điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.