Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và có bán kính \(R = 2a.\) Xét điểm \(M\) thay đổi
Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và có bán kính \(R = 2a.\) Xét điểm \(M\) thay đổi sao cho \(IM = a.\) Hai dây \(AC,\,\,BD\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với nhau \(\left( {A,\,\,B,\,\,C,\,\,D \in \left( C \right)} \right).\) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác \(ABCD.\)
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Sử dụng công thức tính diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc: \(S = \frac{1}{2}AC.BD\).
+) Áp dụng BĐT Cô-si.
+) Chứng minh \(A{C^2} + B{D^2}\) không đổi.
+) Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra.
Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC \bot BD\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD \le \frac{{A{C^2} + B{D^2}}}{4}\)
Kẻ \(IE \bot AC\left( {E \in AC} \right),IF \bot BD\left( {F \in BD} \right)\)
\(AC = 2AF = 2\sqrt {I{A^2} - I{F^2}} = 2\sqrt {4{a^2} - I{F^2}} \)
\(BD = 2DE = 2\sqrt {I{D^2} - I{E^2}} = 2\sqrt {4{a^2} - I{E^2}} \)
\( \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 4\left( {4{a^2} - I{F^2}} \right) + 4\left( {4{a^2} - I{E^2}} \right)\) \( = 32{a^2} - 4\left( {I{E^2} + I{F^2}} \right)\).
Xét tứ giác \(IEMF\) có \(\angle IEM = \angle IFM = \angle EMF = {90^0} \Rightarrow IEMF\) là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)
\( \Rightarrow IF = EM \Rightarrow I{E^2} + I{F^2} = I{M^2} = {a^2}\)
\( \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 32{a^2} - 4{a^2} = 28{a^2}\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} \le \frac{{28{a^2}}}{4} = 7{a^2}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow AC = BD\).
Vậy \({S_{ABCD}}\) đạt GTLN bằng \(7{a^2}\) khi \(AC = BD\).
Đáp án cần chọn là: C
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
