Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) gọi \(\left( P \right):ax + by + cz - 3 = 0\) (với \(a\), \(b\),

Câu hỏi số 345816:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) gọi \(\left( P \right):ax + by + cz - 3 = 0\) (với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\), \(N\left( { - 1;1;3} \right)\) và không đi qua điểm \(H\left( {0;0;2} \right)\). Biết rằng khoảng cách từ \(H\left( {0;0;2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Tổng \(T = a - 2b + 3c + 12\) bằng

A. \( - 16\).

B. \(8\).

C. \(12\).

D. \(16\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345816

Phương pháp giải

+) Thay \(M,\,\,N\) vào \(\left( P \right)\), rút \(a,\,\,b\) theo \(c \Rightarrow pt\left( P \right)\).

+) Khoảng cách từ \(H\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {H;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

+) Sử dụng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}M\left( {0; - 1;2} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow - b + 2c - 3 = 0\\N\left( { - 1;1;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow - a + b + 3c - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2c - 3\\a = b + 3c - 3 = 5c - 6\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( P \right):\,\,\left( {5c - 6} \right)x + \left( {2c - 3} \right)y + cz - 3 = 0\\ \Rightarrow d\left( {H;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2c - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {5c - 6} \right)}^2} + {{\left( {2c - 3} \right)}^2} + {c^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {2c - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {5c - 6} \right)}^2} + {{\left( {2c - 3} \right)}^2} + {c^2}}}} \end{array}\)

Xét hàm số

\(\begin{array}{l}f\left( c \right) = \dfrac{{{{\left( {2c - 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {5c - 6} \right)}^2} + {{\left( {2c - 3} \right)}^2} + {c^2}}} = \dfrac{{4{c^2} - 12c + 9}}{{30{c^2} - 72c + 45}}\\ \Rightarrow f'\left( c \right) = \dfrac{{\left( {8c - 12} \right)\left( {30{c^2} - 72c + 45} \right) - \left( {4{c^2} - 12c + 9} \right)\left( {60c - 72} \right)}}{{{{\left( {30{c^2} - 72c + 45} \right)}^2}}}\\f'\left( c \right) = \dfrac{{240{c^3} - 576{c^2} + 360c - 360{c^2} + 864c - 540 - 240{c^3} + 720{c^2} - 540c + 288{c^2} - 864c + 648}}{{{{\left( {30{c^2} - 72c + 45} \right)}^2}}}\\f'\left( c \right) = \dfrac{{72{c^2} - 180c + 108}}{{{{\left( {30{c^2} + 72c + 45} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \dfrac{3}{2}\\c = 1\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

\( \Rightarrow \max f\left( c \right) = f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3} \Rightarrow c = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\a = - 1\end{array} \right. \Rightarrow T = a - 2b + 3c + 12 = 16\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.