Cho các số thực x,y thỏa mãn x + y = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= -12(x-1).(y-1)+√xy.

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 347:

Cho các số thực x,y thỏa mãn x $\sqrt{2-y^{2}}$ + y $\sqrt{2-x^{2}}$ = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= $(x+y)^{3}$ -12(x-1).(y-1)+√xy.

A. 7

B. 9

C. 6

D. -6

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:347

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức ab≤ $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ với mọi a,b ta có

x $\sqrt{2-y^{2}}$ ≤ $\frac{x^{2}+2-y^{2}}{2}$ , y $\sqrt{2-x^{2}}$ ≤ $\frac{y^{2}+2-x^{2}}{2}$ . (*)

Suy ra 2 = x $\sqrt{2-y^{2}}$ + y $\sqrt{2-x^{2}}$ ≤ 2.

Do đó (*) xảy ra dấu đẳng thức.

Điều đó tương đương với x = $\sqrt{2-y^{2}}$ và y = $\sqrt{2-x^{2}}$

Suy ra x, y ≥ 0 và x² + y²= 2. Đặt t = x + y.

Khi đó 0 ≤ t ≤ $\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$ = 2.

Ta có : P =(x+y)³+ 12(x+y) - 12xy - 12 + √xy

≤(x+y)³+ 12(x+y) - 12 $\frac{(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})}{2}$ - 12 + $\frac{x+y}{2}$

≤ t³+ 12t - 6t²+ 1 = t³- 6t² + 12 t+ 1

Xét hàm f(t)=t³-6t²+12t+1 trên $\begin{bmatrix}0;2\end{bmatrix}$ . Ta có

f'(t) = 3t² - 12t + 12 =3 $(t-2)^{2}$ >0, với mọi t $\epsilon$ (0;2).

Suy ra f(t) đồng biến trên $\begin{bmatrix}0;2\end{bmatrix}$ . Do đó f(t)≤ f(2) = 9. Suy ra P ≤ 9

Dấu đẳng thức xảy ra khi ra t = 2 hay x = y = 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 9, đạt khi x = y = 1.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.