Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 3\),

Câu hỏi số 350657:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 3\), \(\forall x \in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} dx\) bằng

A. \(\dfrac{{{\pi ^2} - 2}}{8}\).

B. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi - 8}}{8}\).

C. \(\dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi - 2}}{8}\).

\(\dfrac{{3{\pi ^2} + 2\pi - 3}}{8}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:350657

Phương pháp giải

+) Tính \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).

+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} dx\).

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 3 = 1 - \cos 2x + 3 = 4 - \cos 2x\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {4 - \cos 2x} \right)dx} = 4x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + C\)

Theo giả thiết có \(f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow 4.0 - \dfrac{1}{2}\sin 0 + C = 4 \Leftrightarrow C = 4\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = 4x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4\\ \Rightarrow \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {4x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2{x^2} + \dfrac{1}{4}\cos 2x + 4x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = 2\dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi - \dfrac{1}{4} = \dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi - 2}}{8}\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.