Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Tam giác

Câu hỏi số 350840:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\), biết \(SD = 2a\sqrt 5 ,\,\,SC\) tạo với đáy \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\). Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{{4{a^3}\sqrt {15} }}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\)

C. \(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:350840

Phương pháp giải

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow SM \bot AB \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow MC\) là hình chiếu của \(SC\) trên \(\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;MC} \right) = \angle SCM = {60^0}\).

Trong tam giác vuông \(SMC\) và \(SMD\) ta có: \(SM = \sqrt {S{D^2} - M{D^2}} = MC.\tan {60^0}\).

Mà \(MC = MD\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {S{D^2} - M{D^2}} = MD.\tan {60^0} \Leftrightarrow S{D^2} - M{D^2} = 3M{D^2}\\ \Leftrightarrow M{D^2} = \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 5{a^2} \Leftrightarrow MD = a\sqrt 5 \end{array}\).

\( \Rightarrow SM = \sqrt {20{a^2} - 5{a^2}} = \sqrt {15{a^2}} = a\sqrt {15} \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AMD\) có :

\(M{D^2} = A{D^2} + A{M^2} \Leftrightarrow 5{a^2} = A{D^2} + \dfrac{1}{4}A{D^2} = \dfrac{5}{4}A{D^2} \Leftrightarrow A{D^2} = 4{a^2} \Leftrightarrow AD = 2a\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt {15} .{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.