Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Vẽ \(AH \bot BC\) tại H. Trên cạnh \(AC\) lấy

Câu hỏi số 350941:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Vẽ \(AH \bot BC\) tại H. Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AH.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HD.\) Tia \(AI\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K.\)

a) So sánh \(\angle AID\) và \(\angle HIK\).

b) Tính \(\angle ABC + \angle ACB\) .

c) Chứng minh \(\Delta AIH = \Delta AID\) và \(AI \bot HD.\)

d) Chứng minh \(AB//DK.\)

e) Qua \(B\) vẽ đường thẳng song song với \(HD\), đường thẳng này cắt đoạn thẳng \(AK\) tại \(E.\) Chứng minh \(EA = EK.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:350941

Phương pháp giải

a) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

b) Vì hai góc \(\angle ABC;\,\angle ACB\)là hai góc phụ nhau nên chúng có tổng bằng \({90^0}\).

c) Chứng minh \(\Delta AIH = \Delta AID\,\,\left( {c.c.c} \right)\) suy ra các góc tương ứng bằng nhau, ta được \(\angle AIH = \angle AID\).

Mà \(\Delta AIH + \Delta AID = {180^0}\) do đó: \(\angle AIH = \angle AID = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\)

\( \Rightarrow AI \bot HD.\) (đpcm).

d) Ta chứng minh AB và KD cùng vuông góc với AC. Từ đó suy ra AB song song với KD.

Để chứng minh \(KD \bot AC\) ta chứng minh \(\Delta AKH = \Delta AKD\,\,\left( {c.g.c} \right)\).

e) Chứng minh \(\Delta ABE = \Delta KBE\,\left( {g.c.g} \right)\). Rồi suy ra, \(EA = EK\) (cạnh tương ứng).

Giải chi tiết

a) \(\angle AID = \angle HIK\) (đối đỉnh)

b) \(\angle ABC + \angle ACB = {90^0}\,\,(\Delta ABC\)vuông tại A).

c) \(\Delta AIH\) và \(\Delta AID\) có:

\(\begin{array}{l}AI\,\,chung\\AH = AD\,\left( {gt} \right)\end{array}\)

\(IH = ID\)(I là trung điểm của HD).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AIH = \Delta AID\,\left( {c.c.c} \right)\\ \Rightarrow \angle AIH = \angle AID\end{array}\)

Mà\(\angle AIH + \angle AID = {180^0} \Rightarrow \angle AIH = \angle AID = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0} \Rightarrow AI \bot HD\)

d) \(\Delta AKH\,\) và \(\Delta AKD\) có:

\(\begin{array}{l}AK\,chung\\AH = AH\left( {gt} \right)\\\angle KAH = \angle KAD\left( {\Delta AIH = \Delta AID} \right)\\ \Rightarrow \Delta AKH = \Delta AKD\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle KDA = \angle KHA = {90^0}\left( {goc\,tuong\,ung} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow DK \bot AC,\) mà \(AB \bot AC\,(\Delta ABC\) vuông tại A) \( \Rightarrow AB//DK\)

e) \(BE//HD\) mà \(AI \bot HD\) (do c)

\( \Rightarrow BE \bot AI \Rightarrow \angle BEA = \angle BEK\,\left( { = {{90}^0}} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

\(\angle BKE = \angle DKA\,\,\left( {\Delta AKH = \Delta AKD} \right)\) mà \(\angle BAE = \angle DKA\left( {so\,le\,trong} \right) \Rightarrow \angle BAE = \angle BKE\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\angle ABE = \angle KBE\,\,\,\left( 3 \right)\)

\(\Delta BAE\) và \(\Delta BKE\) có \(BE\) là cạnh chung, kết hợp với \(\left( 1 \right),\,\,\left( 3 \right)\)

\( \Rightarrow \Delta BAE = \Delta BKE\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow EA = EK.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link