Cho đường thẳng \(y = 3x\) và parabol \(y = 2{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\)

Câu hỏi số 351148:

Vận dụng

Cho đường thẳng \(y = 3x\) và parabol \(y = 2{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{9}{{10}}} \right)\)

B. \(\left( {0;\dfrac{4}{5}} \right)\)

C. \(\left( {1;\dfrac{9}{8}} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{9}{{10}};1} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351148

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

- Viết công thức tính hai phần diện tích \({S_1},{S_2}\).

- Sử dụng điều kiện \({S_1} = {S_2}\) tìm \(a\).

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm : \(2{x^2} + a = 3x \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + a = 0\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta = 9 - 8a > 0 \Leftrightarrow a < \dfrac{9}{8}\).

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).

Ta có : \({S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {2{x^2} + a - 3x} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + ax} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \dfrac{2}{3}x_1^3 - \dfrac{3}{2}x_1^2 + a{x_1}\)

\({S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {3x - 2{x^2} - a} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{3}{2}{x^2} - \dfrac{2}{3}{x^3} - ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} = \dfrac{3}{2}x_2^2 - \dfrac{2}{3}x_2^3 - a{x_2} - \dfrac{3}{2}x_1^2 + \dfrac{2}{3}x_1^3 + a{x_1}\)

Do \({S_1} = {S_2}\) nên \(\dfrac{2}{3}x_1^3 - \dfrac{3}{2}x_1^2 + a{x_1} = \dfrac{3}{2}x_2^2 - \dfrac{2}{3}x_2^3 - a{x_2} - \dfrac{3}{2}x_1^2 + \dfrac{2}{3}x_1^3 + a{x_1}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x_2^2 - \dfrac{2}{3}x_2^3 - a{x_2} = 0 \Leftrightarrow 9x_2^2 - 4x_2^3 - 6a{x_2} = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(2x_2^2 - 3{x_2} + a = 0 \Leftrightarrow a = 3{x_2} - 2x_2^2\) thay vào \(\left( 1 \right)\) được :

\(9x_2^2 - 4x_2^3 - 6\left( {3{x_2} - 2x_2^2} \right){x_2} = 0 \Leftrightarrow 8x_2^3 - 9x_2^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0 \Rightarrow a = 0\left( {KTM} \right)\\{x_2} = \dfrac{9}{8} \Rightarrow a = \dfrac{{27}}{{32}}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(a = \dfrac{{27}}{{32}} \in \left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{9}{{10}}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.