Cho hai hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}\)
Cho hai hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}\) và \(y = \left| {x + 2} \right| - x - m\) (\(m\) là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Biến đổi phương trình về \( - m = f\left( x \right)\).
- Xét hàm \(y = f\left( x \right)\) và sử dụng mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình với số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng tìm \(m\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} = \left| {x + 2} \right| - x - m\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} - \left| {x + 2} \right| + x = - m\end{array}\)
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} - \left| {x + 2} \right| + x\) trên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\}\).
+) Xét trên \({D_1} = \left( { - \infty ; - 2} \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + 2x + 2\)
Có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + 2 > 0,\forall x \in {D_1}\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; - 2} \right)\).
+) Xét trên \({D_2} = \left( { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 1;0} \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} - 2\)
Có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in {D_2}\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right),\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - \infty \);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty \).
Bảng biến thiên:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy, phương trình \( - m = f\left( x \right)\) có bốn nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - m \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 2\).
Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right]\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
