Cho hai hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}\)
Cho hai hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}\) và \(y = \left| {x + 2} \right| - x - m\) (\(m\) là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Biến đổi phương trình về \( - m = f\left( x \right)\).
- Xét hàm \(y = f\left( x \right)\) và sử dụng mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình với số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng tìm \(m\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} = \left| {x + 2} \right| - x - m\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} - \left| {x + 2} \right| + x = - m\end{array}\)
Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} - \left| {x + 2} \right| + x\) trên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\}\).
+) Xét trên \({D_1} = \left( { - \infty ; - 2} \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + 2x + 2\)
Có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + 2 > 0,\forall x \in {D_1}\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; - 2} \right)\).
+) Xét trên \({D_2} = \left( { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 1;0} \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} - 2\)
Có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in {D_2}\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right),\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - \infty \);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty \).
Bảng biến thiên:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy, phương trình \( - m = f\left( x \right)\) có bốn nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - m \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 2\).
Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right]\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
