Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3 Chứng minh rằng ≥ 0

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 35130:

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3

Chứng minh rằng

$\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca}$ ≥ 0

A. $\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca}$ ≥ 0

B. $\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca}$ > 0

C. $\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca}$ = 0

D. $\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca}$ < 0

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:35130

Giải chi tiết

Bất đẳng thức

⇔ $\frac{a(a+c+b-3b)}{1+ab}+\frac{b(b+a+c-3c)}{1+bc}+\frac{c(c+b+a-3a)}{1+ca}$ ≥ 0

⇔ $\frac{3a(1-b)}{1+ab} + \frac{3b(1-c)}{1+bc} + \frac{3c(1-a)}{1+ca}$ ≥ 0

⇔ $\frac{a(1-b)}{1+ab} + \frac{b(1-c)}{1+bc} + \frac{c(1-a)}{1+ca}$ ≥ 0

⇔ $\frac{a(1-b)}{1+ab} + 1 + \frac{b(1-c)}{1+bc} + 1 + \frac{c(1-a)}{1+ca}$ + 1 ≥ 3

⇔ $\frac{a+1 }{1+ab} + \frac{b+1 }{1+bc} + \frac{c+1 }{1+ca}$ ≥ 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

$\frac{a+1 }{1+ab} +\frac{b+1 }{1+bc} + \frac{c+1 }{1+ca}$ ≥ 3 $\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}$

Ta phải chứng minh

$\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}$ ≥ 1

⇔(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca)

Thật vậy: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca)

⇔ abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1 ≥ a²b²c² + abc(a + b + c) + ab + bc + ca + 1

⇔3 ≥ a²b²c²+2abc (*)

Từ a + b + c = 3 suy ra 3 ≥ 3 $\sqrt[3]{abc}$ ⇔ abc ≤ 1

Suy ra (*) đúng.

Vậy $\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca}$ ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.