Cho phương trình \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {0;2018} \right)\).

Câu 353138: Cho phương trình \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {0;2018} \right)\).

A. \({\left( {\dfrac{{4035}}{4}} \right)^2}\pi \)

B. \({\left( {1286} \right)^2}\pi \)

C. \({\left( {1284} \right)^2}\pi \)

D. \({\left( {\dfrac{{1285}}{2}} \right)^2}\pi \)

Câu hỏi : 353138

Đáp án : D
(47) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\\ \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + {\cos ^{2018}}x\left( {1 - 2{{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x\cos 2x - {\cos ^{2018}}x\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^{2018}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\{\sin ^{2018}}x = {\cos ^{2018}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin x = \cos x\\\sin x = - \cos x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\tan x = 1\\\tan x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Cho \(x \in \left( {0;2018} \right)\) ta có \(0 < \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} < 2018 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < 1284,2\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;1284} \right\}\).

Tổng các nghiệm phương trình trên khoảng \(\left( {0;2018} \right)\) là

\(T = \sum\limits_{k = 0}^{1284} {\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}} \right)} = 1285\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{2}\sum\limits_{k = 0}^{1284} k = \dfrac{{1285\pi }}{4} + \dfrac{\pi }{2}\dfrac{{1284.1285}}{2} = \dfrac{{1285\pi }}{4}\left( {1 + 12284} \right) = {\left( {\dfrac{{1285}}{2}} \right)^2}\pi \)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.