Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho phương trình \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {0;2018} \right)\).

Câu 353138: Cho phương trình \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {0;2018} \right)\).

A. \({\left( {\dfrac{{4035}}{4}} \right)^2}\pi \)

B. \({\left( {1286} \right)^2}\pi \)

C. \({\left( {1284} \right)^2}\pi \)

D. \({\left( {\dfrac{{1285}}{2}} \right)^2}\pi \)

Câu hỏi : 353138
  • Đáp án : D
    (10) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    \(\begin{array}{l}{\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\\ \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + {\cos ^{2018}}x\left( {1 - 2{{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x\cos 2x - {\cos ^{2018}}x\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^{2018}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\{\sin ^{2018}}x = {\cos ^{2018}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin x = \cos x\\\sin x =  - \cos x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\tan x = 1\\\tan x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

    Cho \(x \in \left( {0;2018} \right)\) ta có \(0 < \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} < 2018 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < k < 1284,2\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;1284} \right\}\).

    Tổng các nghiệm phương trình trên khoảng \(\left( {0;2018} \right)\) là

    \(T = \sum\limits_{k = 0}^{1284} {\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}} \right)}  = 1285\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{2}\sum\limits_{k = 0}^{1284} k  = \dfrac{{1285\pi }}{4} + \dfrac{\pi }{2}\dfrac{{1284.1285}}{2} = \dfrac{{1285\pi }}{4}\left( {1 + 12284} \right) = {\left( {\dfrac{{1285}}{2}} \right)^2}\pi \)

    Chọn D

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay

Hỗ trợ - HƯớng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com