Cho phương trình \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\).

Câu hỏi số 353138:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {0;2018} \right)\).

A. \({\left( {\dfrac{{4035}}{4}} \right)^2}\pi \)

B. \({\left( {1286} \right)^2}\pi \)

C. \({\left( {1284} \right)^2}\pi \)

D. \({\left( {\dfrac{{1285}}{2}} \right)^2}\pi \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353138

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x = 2\left( {{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x} \right)\\ \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + {\cos ^{2018}}x\left( {1 - 2{{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^{2018}}x\cos 2x - {\cos ^{2018}}x\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^{2018}}x - {{\cos }^{2018}}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\{\sin ^{2018}}x = {\cos ^{2018}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin x = \cos x\\\sin x = - \cos x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\tan x = 1\\\tan x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Cho \(x \in \left( {0;2018} \right)\) ta có \(0 < \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} < 2018 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < 1284,2\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;1284} \right\}\).

Tổng các nghiệm phương trình trên khoảng \(\left( {0;2018} \right)\) là

\(T = \sum\limits_{k = 0}^{1284} {\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}} \right)} = 1285\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{2}\sum\limits_{k = 0}^{1284} k = \dfrac{{1285\pi }}{4} + \dfrac{\pi }{2}\dfrac{{1284.1285}}{2} = \dfrac{{1285\pi }}{4}\left( {1 + 12284} \right) = {\left( {\dfrac{{1285}}{2}} \right)^2}\pi \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.