Phương trình \(2\sin \dfrac{{5x}}{2}\sin \dfrac{x}{2} - m\cos x + 1 = 0\) có đúng 7 nghiệm trong khoảng
Phương trình \(2\sin \dfrac{{5x}}{2}\sin \dfrac{x}{2} - m\cos x + 1 = 0\) có đúng 7 nghiệm trong khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right)\) khi:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
\(\begin{array}{l}2\sin \dfrac{{5x}}{2}\sin \dfrac{x}{2} - m\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x - \cos 3x - m\cos x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - 4{\cos ^3}x + 3\cos x - m\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 2{\cos ^2}x + \left( {m - 3} \right)\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left[ {4{{\cos }^2}x - 2\cos x + m - 3} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\4{\cos ^2}x - 2\cos x + m - 3 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right)\) ta có:
\( - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\pi }{2} + k\pi < 2\pi \Leftrightarrow - 1 < k < \dfrac{3}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\).
Để phương trình \(2\sin \dfrac{{5x}}{2}\sin \dfrac{x}{2} - m\cos x + 1 = 0\) có đúng 7 nghiệm trong khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right)\) thì (*) phải có 5 nghiệm \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right)\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\).
\(\left( * \right) \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x - 2\cos x - 3 = - m\). Đặt \(t = \cos x\). Phương trình: \(4{t^2} - 2t - 3 = - m\,\,\left( {**} \right)\).
- Với \(t = \cos x \in \left( {0;1} \right)\) thì ứng với mỗi giá trị \(t\) được 3 giá trị của \(x\) thỏa mãn \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right)\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\).
- Với \(t = \cos x \in \left( { - 1;0} \right)\) thì ứng với mỗi giá trị \(t\) được 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right)\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\).
- Với \(t = \cos x \in \left\{ { - 1;1} \right\}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thì ứng với mỗi giá trị \(t\)được 1 giá trị của \(x\) thỏa mãn \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right)\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\)
Do đó để phương trình (*) có 5 nghiệm \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right)\) thì (**) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({t_1} \in \left( { - 1;0} \right);\,\,{t_2} \in \left( {0;1} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 2t - 3\) ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy (**) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({t_1} \in \left( { - 1;0} \right);\,\,{t_2} \in \left( {0;1} \right)\) khi và chỉ khi \( - 3 < - m < - 1 \Leftrightarrow 1 < m < 3\).
Chọn A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
