Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ đến \(\left( O \right)\) các tiếp

Câu hỏi số 353753:

Vận dụng

Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ đến \(\left( O \right)\) các tiếp tuyến \(MP,MQ\) và cát tuyến \(MAB\) không đi qua tâm (\(A,B,P,Q\) thuộc \(\left( O \right)\)). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB,\) \(E\) là giao điểm của \(PQ\) và \(AB.\)

a) Chứng minh \(MPOQ\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác \(MPE\) và \(MIP\) đồng dạng với nhau.

c) Giả sử \(PB = a\) và \(A\) là trung điểm của \(MB.\) Tính \(PA\) theo \(a.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353753

Phương pháp giải

a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc

c) Chứng minh hai tam giác \(MAP\) và \(MPB\) đồng dạng từ đó suy ra tỉ lệ cạnh và tính \(PA.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(MPOQ\) là tứ giác nội tiếp

Vì \(MP, \, MQ\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(MP \bot OP;\,MQ \bot OQ \Rightarrow \angle MPO = 90^\circ ;\,\angle MQO = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(MPOQ\) có \(\angle MPO + \angle MQO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(MPOQ\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh hai tam giác \(MPE\) và \(MIP\) đồng dạng với nhau.

Xét \(\left( O \right)\) có \(AB\) là dây và \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(OI \bot AB\) tại \(I\) (quan hệ giữa đường kính và dây)

Ta có \(\angle MPO = 90^\circ ;\,\angle MQO = 90^\circ ;\,\angle MIO = 90^\circ \) nên 5 điểm \(M;P;Q;I;O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(MO.\)

Suy ra \(\angle MIP = \angle MPQ\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(MP\)) (1)

Ta lại có \(MP = MQ\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\Delta MPQ\) cân tại \(M \Rightarrow \angle MPQ = \angle MQP\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle MIP = \angle MPE\)

Xét \(\Delta MPE\) và \(\Delta MIP\) có \(\angle PMI\) chung và \(\angle MIP = \angle MPE\) (cmt) nên \(\Delta MPE \sim \Delta MIP\left( {g - g} \right)\)

c) Giả sử \(PB = a\) và \(A\) là trung điểm của \(MB.\) Tính \(PA\) theo \(a.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle MPA = \angle MBP\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AP\))

Xét \(\Delta MPA\) và \(\Delta MBP\) có \(\angle PMB\) chung và \(\angle MPA = \angle MBP\) (cmt) nên \(\Delta MAP \sim \Delta MPB\left( {g - g} \right)\)

Suy ra \(\frac{{MA}}{{MP}} = \frac{{MP}}{{MB}} = \frac{{AP}}{{PB}}\)

\( \Rightarrow M{P^2} = MA.MB\) mà \(A\) là trung điểm của \(MB\) nên \(MB = 2MA\)

Do đó, \(M{P^2} = MA.2MA \Leftrightarrow M{P^2} = 2M{A^2} \Leftrightarrow MP = \sqrt 2 MA \Leftrightarrow \frac{{MA}}{{MP}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Suy ra \(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{{MA}}{{MP}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow AP = \frac{{PB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy \(AP = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link