Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn tâm O (B, C
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn tâm O (B, C là hai tiếp điểm) và cát tuyến AEF sao cho E nằm giữa A, F (BE < EC) .
1. Chứng minh \(A{B^2} = AE.AF.\)
2. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh các tứ giác ABOC, ABIO nội tiếp đường tròn.
3. Các đường thẳng AO, AF cắt BC lần lượt tại H và D. Chứng minh \(AD.AI = AE.AF\)
Quảng cáo
1. Chứng minh \(A{B^2} = AE.AF.\)
Xét (O) Ta có: \(\angle ABE = \angle BFE = \angle BFA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta AFB\)có:
\(\angle BAF\) chung
\(\angle ABE = \angle BFA\)(cmt)
\( \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta AFB\) (g-g)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{AE}}{{AB}} \Leftrightarrow A{B^2} = AE.AF\)
2. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh các tứ giác ABOC, ABIO nội tiếp đường tròn.
+) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.
Ta có AB, AC lần lượt là 2 tiếp tuyến của (O) nên:
\(AB \bot OB \Rightarrow \angle ABO = {90^0};\,AC \bot OC \Rightarrow \angle ACO = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến)
Xét tứ giác ABOC có: \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
+) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp đường tròn.
Ta có: I là trung điểm của EF (gt)
\( \Rightarrow OI \bot EF\) tại I (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
Khi đó ta có: \(\angle OIE = {90^0}\) hay \(\angle OIA = {90^0}\)
Nên \(\angle OIA = \angle OBA = {90^0}\). Mà I, B là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh OA dưới các góc bằng nhau.
Suy ra tứ giác ABIO là tứ giác nội tiếp đường tròn. (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
3. Các đường thẳng AO, AF cắt BC lần lượt tại H và D. Chứng minh \(AD.AI = AE.AF\)
Ta có:
\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại A)
\(OB = OC\) (cùng là bán kính (O))
\( \Rightarrow OA\) là đường trung trực của \(BC \Rightarrow OA \bot BC \Rightarrow \angle AHD = {90^0}\)
Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AIO\)có:
\(\angle IAO\) chung
\(\angle AHD = \angle AIO = {90^0}\)(cmt)
\( \Rightarrow \Delta AHD \sim \Delta AIO\) (g-g)
\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AD}}{{AO}} \Leftrightarrow AD.AI = AH.AO = A{B^2}\)
Mặt khác theo câu a ta có: \(A{B^2} = AE.AF\)
Vậy ta có: \(AD.AI = AE.AF\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
