Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \({S_1}\) là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính

Câu hỏi số 353781:

Vận dụng cao

Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \({S_1}\) là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và CD ; \({S_2}\) là diện tích phần còn lại của hình vuông ABCD nằm ngoài hai nửa hình tròn nói trên (như hình vẽ bên). Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).

A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\pi - 2}}{{6 - \pi }}\)

B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\pi - 2}}{{6 + \pi }}\)

C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\pi + 2}}{{6 + \pi }}\)

D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\pi + 2}}{{6 - \pi }}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353781

Phương pháp giải

Gọi \(O\) là tâm hình vuông.

Tính các diện tích \({S_1},{S_2}\) bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa diện tích các hình. Từ đó suy ra tỉ số.

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), gọi \(E,F\) là trung điểm của \(AB\) và \(AD\).

Suy ra \(AC \bot BD\) tại \(O\) \( \Rightarrow \angle AOB = \angle AOD = {90^0}\)

\( \Rightarrow O\) nằm trên các đường tròn đường kính \(AB\) và đường tròn đường kính \(AD\) (cùng nhìn \(AB\) và \(AD\) dưới các góc vuông).

Không mất tính tổng quát, giả sử hình vuông có cạnh bằng \(2\) suy ra \(AC = BD = 2\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2} = \sqrt 2 \).

Ta có \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(ABD \Rightarrow OE//AD \Rightarrow OE \bot AB\) .

Xét tam giác \(EAO\) vuông tại \(E\) có \({S_{EOA}} = \frac{1}{2}EA.EO = \frac{1}{2}.1.1 = \frac{1}{2}\).

Diện tích hình quạt \({S_{qEOA}} = \frac{{\pi E{O^2}.90}}{{360}} = \frac{\pi }{4}\)

\( \Rightarrow \) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây \(OA\) và cung \(OA\) trong hình tròn đường kính \(AB\) là

\({S_{vpOA}} = {S_{qEOA}} - {S_{\Delta EOA}} = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\).

Tương tự, diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây \(OA\) và cung \(OA\) trong hình tròn đường kính \(AD\) là \({S_{vpOA}} = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\).

Suy ra \({S_1} = 2{S_{vpOA}} = 2\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\).

Diện tích tam giác \(BOC\) là \({S_{\Delta BOC}} = \frac{1}{2}OB.OC = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt 2 = 1\).

CMTT: Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây \(OB\) và cung \(OB\) là \({S_{vpOB}} = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\)

Diện tích phần còn lại giới hạn tam giác \(OBC\) và hình viên phân giới hạn bởi dây \(OB\) và cung \(OB\) là \({S_3} = {S_{\Delta OBC}} - {S_{vpOB}} = 1 - \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\pi }{4}\).

Tương tự, diện tích phần còn lại giới hạn tam giác \(ODC\) và hình viên phân giới hạn bởi dây \(OD\) và cung \(OD\) là \({S_4} = {S_{\Delta ODC}} - {S_{vpOD}} = 1 - \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\pi }{4}\)

Suy ra \({S_2} = {S_3} + {S_4} = 2\left( {\frac{3}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 3 - \frac{\pi }{2}\)

\( \Rightarrow \) \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{\pi }{2} - 1}}{{3 - \frac{\pi }{2}}} = \frac{{\pi - 2}}{2}:\frac{{6 - \pi }}{2} = \frac{{\pi - 2}}{{6 - \pi }}\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\pi - 2}}{{6 - \pi }}\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link