Cho tam giác nhọn \(\Delta ABC\,\,\left( {AB < AC} \right),\) đường cao \(AH\), nội tiếp đường tròn

Câu hỏi số 353780:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(\Delta ABC\,\,\left( {AB < AC} \right),\) đường cao \(AH\), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(D\) và \(E\) thứ tự là hình chiếu vuông góc của \(H\) lên \(AB\) và \(AC.\)

a) Chứng minh các tứ giác \(AEHD\) và \(BDEC\) nội tiếp được đường tròn.

b) Vẽ đường kính \(AF\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh \(BC = \sqrt {AB.BD} + \sqrt {AC.CE} \) và \(AF \bot DE.\)

c) Gọi \(O'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BDE.\) Chứng minh \(O'\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HF.\)

d) Tính bán kính của đường tròn \(\left( {O'} \right)\) biết \(BC = 8cm,\,\,DE = 6cm,\,\,AF = 10cm.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353780

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng các dấu hiệu nhận biết.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

Giải chi tiết

a) Chứng minh các tứ giác \(AEHD\) và \(BDEC\) nội tiếp được đường tròn.

Xét tứ giác \(AEHD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle ADH = {90^{0\,\,\,}}\left( {HD \bot AB} \right)\\\angle AEH = {90^0}\,\,\left( {HE \bot AC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle ADH + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện \( \Rightarrow AEHD\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Vì tứ giác \(AEHD\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \angle ADE = \angle AHE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\)).

Lại có \(\angle AHE = \angle ACH = \angle ECB\) (cùng phụ với \(\angle CHE\))

\( \Rightarrow \angle ADE = \angle ECB\) .

\( \Rightarrow BDEC\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (đpcm)

b) Vẽ đường kính \(AF\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh \(BC = \sqrt {AB.BD} + \sqrt {AC.CE} \) và \(AF \bot DE.\)

+) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HE\) ta có:

\(H{C^2} = CE.AC \Leftrightarrow HC = \sqrt {CE.AC} .\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HD\) ta có:

\(B{H^2} = BD.BA \Leftrightarrow BH = \sqrt {BD.BA} .\)

Mà \(BH + HC = BC\)\( \Leftrightarrow BC = \sqrt {AB.BD} + \sqrt {AC.CE} \,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

+) Chứng minh \(AF \bot DE:\)

Gọi \(I = DE \cap AF\).

Tứ giác \(BDEC\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AED = \angle ABC\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mà \(\angle ABC = \angle AFC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) \( \Leftrightarrow \angle AED = \angle AFC\).

Ta có \(\angle ACF = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta ACF\) vuông tại \(C\).

\( \Leftrightarrow \angle CAF + \angle AFC = {90^0} \Rightarrow \angle EAI + \angle AED = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta AIE\) vuông tại \(I \Rightarrow AF \bot DE\).

c) Gọi \(O'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BDE.\) Chứng minh \(O'\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HF.\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow O'K \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Lại có \(OK \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow O;\,\,O';\,\,K\) thẳng hàng \( \Rightarrow OO' \bot BC\). Mà \(AH \bot BC \Rightarrow OO'//BC\).

Xét tam giác \(AHF\) có:

\(O\) là trung điểm của \(AF\);

\(OO'//AH\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow O'\) là trung điểm của \(HF\) (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).

d) Tính bán kính của đường tròn \(\left( {O'} \right)\) biết \(BC = 8cm,\,\,DE = 6cm,\,\,AF = 10cm.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link