Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left( {1; - 2} \right).\) Đường thẳng \(d:\,\,x - y = 0\) đi qua các trung

Câu hỏi số 354618:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left( {1; - 2} \right).\) Đường thẳng \(d:\,\,x - y = 0\) đi qua các trung điểm \(M,\,\,N\) của \(AB\) và \(AC.\) Cho điểm \(E\left( { - 2;\,\,0} \right) \in CH\) là đường cao của \(\Delta ABC.\) Biết điểm \(B\) có hoành độ nguyên, khi đó tọa độ điểm điểm \(B\) và \(C\) của \(\Delta ABC\) là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;\,\,2} \right)\\C\left( {3;\,\,0} \right)\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;\,\,2} \right)\\C\left( { - 3\,;\,\,0} \right)\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - \frac{1}{2};\,\,\frac{5}{2}} \right)\\C\left( { - \frac{7}{2};\,\, - \frac{1}{2}} \right)\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 3;\,\,0} \right)\\C\left( { - 1;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:354618

Phương pháp giải

Gọi tọa độ các điểm \(B,\,\,C.\)

Sử dụng tính chất trung điểm và tam giác cân để làm bài toán.

Giải chi tiết

Gọi \(B\left( {a;\,\,b} \right),\,\,\,C\left( {c;\,\,d} \right)\,\,\,\,\,\left( {a \in \mathbb{Z}} \right).\)

Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M\left( {\frac{{a + 1}}{2};\,\,\frac{{b - 2}}{2}} \right).\)

\(N\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow N\left( {\frac{{c + 1}}{2};\,\,\frac{{d - 2}}{2}} \right).\)

Lại có \(M,\,\,N \in d:\,\,x - y = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + 1}}{2} - \frac{{b - 2}}{2} = 0\\\frac{{c + 1}}{2} - \frac{{d - 2}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b + 3 = 0\\c - d + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a + 3\\d = c + 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {a;\,\,a + 3} \right)\\C\left( {c;\,\,c + 3} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {a - 1;\,\,a + 5} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {c - 1;\,\,c + 5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 5} \right)}^2}} \\AC = \sqrt {{{\left( {c - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 5} \right)}^2}} \end{array} \right..\end{array}\)

Theo bài ra ta có \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại\(A \Rightarrow AB = AC\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 5} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {c - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 5} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 8a + 26 = 2{c^2} + 8c + 26\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - {c^2}} \right) + 8\left( {a - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - c} \right)\left( {a + c} \right) + 4\left( {a - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - c} \right)\left( {a + c + 4} \right) = 0\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + c + 4 = 0\\a - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 4 - a\\a = c\end{array} \right..\end{array}\)

Nếu \(a = c \Rightarrow B\left( {a;\,\,a + 3} \right),\,\,C\left( {a;\,\,a + 3} \right) \Rightarrow B \equiv C \Rightarrow \) vô lý.

\( \Rightarrow a + c + 4 = 0.\)

Ta có: \(E\left( { - 2;\,\,0} \right)\) thuộc đường cao của\(\Delta ABC \Rightarrow CE \bot AB.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CE} .\overrightarrow {AB} = 0\\ \Leftrightarrow \left( { - 2 - c;\,\, - c - 3} \right).\left( {a - 1;\,\,a + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2 + c} \right)\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 3} \right)\left( {a + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2a - 2 + ac - c + ca + 5c + 3a + 15 = 0\\ \Leftrightarrow 5a + 4c + 2ac + 13 = 0\\ \Leftrightarrow 5a + 4\left( { - 4 - a} \right) + 2a\left( { - 4 - a} \right) + 13 = 0\\ \Leftrightarrow 5a - 16 - 4a - 8a - 2{a^2} + 13 = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 7a + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 3 \Rightarrow c = - 1\\a = - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {ktm\,\,\,a \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 3;\,\,0} \right)\\C\left( { - 1;\,\,2} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn D.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.